&知识就是力量&
【分析】连接OC，易证AO⊥OC，OC=OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y
AE，FC=
EO..
轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=
设点A坐标为（a，b）则ab=2，可得FC?OF=6．设点C坐标为（x，y），从而有FC?OF=﹣xy=﹣6，即k=xy=﹣6．
【解答】解：∵双曲线y=关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称． ∴OA=OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA=OB， ∴OC⊥AB．∠BAC=60°． ∴tan∠OAC=∴OC=
OA．
=
．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E， 过点C作CF⊥y轴，垂足为F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF． ∴△AEO∽△OFC． ∴
=
=
．
∵OC=∴OF=
OA， AE，FC=
EO．
设点A坐标为（a，b）， ∵点A在第一象限， ∴AE=a，OE=b． ∴OF=
AE=
a，FC=
EO=
b．
∵点A在双曲线y=上， ∴ab=2． ∴FC?OF=
b?
a=3ab=6
设点C坐标为（x，y），
@学无止境！@
&知识就是力量&
∵点C在第四象限， ∴FC=x，OF=﹣y． ∴FC?OF=x?（﹣y）=﹣xy =6． ∴xy=﹣6．
∵点C在双曲线y=上， ∴k=xy=﹣6． 故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．
16．如图，在四边形ABDC中，AD=4，CD=3
，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长是
．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，由∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，推出A，B，D，C四点共圆，AC=BC，求得∠ADC=∠ABC=45°，得到△ADE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到AE=AD=4，∠E=45°，DE=到BD=CE=
．
AD=4
，求得CE=DE﹣CD=
，通过△ACE≌△ABD，于是得
【解答】解：过A作AE⊥AD交DC的延长线于E，
@学无止境！@
&知识就是力量&
∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°， ∴A，B，D，C四点共圆，AC=BC， ∴∠ADC=∠ABC=45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE=AD=4，∠E=45°，DE=∴CE=DE﹣CD=
，
AD=4
，
∵∠DAE=∠CAB=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ACE与△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD， ∴BD=CE=故答案为：
． ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（8大题，共72分）
17．在平面直角坐标系中，直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4）， （1）求k的值；
（2）求不等式2x＞kx+4的解集． 【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】（1）将已知点的坐标代入直线的解析式即可求得k值； （2）将k的值代入不等式解之即可．
【解答】解：（1）∵直线y=k（x﹣2）刚好经过点（0，4），
@学无止境！@
&知识就是力量&
∴﹣2k=4， 解得：k=﹣2；
（2）∵k=﹣2，
∴不等式为2x＞﹣2x+4， 解得：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．
18．如图，在四边形ABCD中，点O是AC的中点， （1）若AB∥CD，求证：△OAB≌△OCD；
（2）在问题（1）中，若AC=BD，则四边形ABCD是 矩形 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定． 【分析】（1）由ASA证得这两个三角形全等；
（2）利用（1）中全等三角形的性质判定AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形，则根据”对角线相等的平行四边形为矩形“推知四边形ABCD是矩形．
【解答】（1）证明：如图，∵在四边形ABCD中，点O是AC的中点， ∴OA=OC． 又∵AB∥CD， ∴∠OAB=∠OCD， 在△OAB与△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD（ASA）；
@学无止境！@
&知识就是力量&
（2）由（1）知，△OAB≌△OCD，则AB=CD． 又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案是：矩形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们洗匀后背面朝上．
（1）从四张卡片中随机地摸取一张数字为偶数的概率； （2）从四张卡片中随机地摸取两张数字和为3的倍数的概率． 【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率公式直接解答； （2）列出树状图，然后利用概率公式解答．
【解答】解：（1）四张卡片中，偶数为2，4；P（偶数）==； （2）列树状图为：
P（和为3）==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
20．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
@学无止境！@
2020-2021学年湖北省武汉市中考数学模拟试题及答案解析
