【高考】2024年高考数学一轮复习对点提分专题2.6 对数与对数函数 (文理科通用)(教师版)

第二篇 函数及其性质 专题2.06 对数与对数函数

【考试要求】

1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)． 【知识梳理】 1.对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； M

②loga＝logaM－logaN；

N③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

n

④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).

m

logaN

(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).

logab3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质

a>1 0

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当00，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 【微点提醒】

1.换底公式的两个重要结论 1n

(1)logab＝；(2)logambn＝logab.

logbam其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

1

，－1?，函数图象只在第一、四3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，??a?象限. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x.( )

(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )

1＋x

(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )

1－x(4)当x>1时，若logax>logbx，则a

(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.

(4)当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错. 【教材衍化】

11

2.(必修1P73T3改编)已知a＝2，b＝log2，c＝log1，则( )

323

?13当x>1时，y<0； 当00 在(0，＋∞)上是减函数 A.a>b>c C.c>b>a 【答案】 D

B.a>c>b D.c>a>b

1

【解析】 ∵01.

23∴c>a>b.

2

3.(必修1P74A7改编)函数y＝1?

【答案】 ??2，1?

log2(2x－1)的定义域是________.

3

1

【解析】 由log2(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴

23∴函数y＝

1?

log2(2x－1)的定义域是??2，1?.

3

【真题体验】

4.(2024·杭州检测)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝( ) A.0 【答案】 D

【解析】 原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25) ＝4＋log525＝4＋2＝6.

5.(2024·上海静安区检测)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )

B.2

C.4

D.6

A.a>1，c>1 C.01 【答案】 D

【解析】 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即logac>0，所以0

【解析】 由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7. 【考点聚焦】 考点一 对数的运算

11

lg－lg 25?÷【例1】 (1)计算：?100－＝________. ?4?2（1－log63）2＋log62·log618

(2)计算：＝________.

log64【答案】 (1)－20 (2)1

1?1－－2

【解析】 (1)原式＝(lg 22－lg 52)×100＝lg?×10＝lg 10×10＝－2×10＝－20. 22

?2×5?2

B.a>1，0

3