【竞赛试题】2012年全国高中数学联赛
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
2（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向 x直线y?x和y轴作垂线，垂足分别为A,B，则PA?PB的值是_____________.
1.设P是函数y?x?6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x．若对任意的x?[a,a?2]，不等式f(x?a)?2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是_____________.
?1?1?sin?的所有正整数n的和是_____________. 4n38．某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从
7．满足
上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数f(x)?asinx?131cos2x?a??,a?R,a?0 2a2（1）若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围； （2）若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围．
10．（本小题满分２０分）已知数列?an?的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有
(a1?a2?3?an)2?a13?a2?3?an
（1）当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;
（2）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013??2012?若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
1
11．（本小题满分20分）
如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OB?OD?6． （1）求证：|OA|?|OC|为定值；
（2）当点A在半圆(x?2)?y?4（2?x?4）上运动时，求 点C的轨迹．
22
三、（本题满分50分）
,Pn是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d?0) 设P0,P1,P2,求证：P0P1?P0P2?
dP0Pn?()n(n?1)! 3
2
四、（本题满分50分） 设Sn?1?11??，n是正整数．证明：对满足0?a?b?1的任意实数a,b，数列n中有无穷多项属于(a,b)．这里，[x]表示不超过实数x的最大整数．
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题
3
2{Sn?[Sn]}
[来源:学.科.网]
参考答案及详细评分标准(A卷word版)
一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上． １． 设P是函数y?x?轴作垂线，垂
足分别为A,B，则PA?PB的值是 ．
2（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向直线y?x和yx２． 设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足acosB?bcosA?则
3c， 5
tanA
的值是 . tanB
【答案】4
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
３．设x,y,z?[0,1]，则M?|x?y|?|y?z|?|z?x|的最大值是 . 【答案】2?1因为[来源:学&科&网] 【解析】不妨设0?x?y?z?1,则M?y?x?z?y?z?x.
y?x?z?y?2[(y?x)?(z?y)]?2(z?x).
1时上式等号同时成立.故Mmax?2?1. 2所以M?2(z?x)?z?x?(2?1)z?x?2?1. 当且仅当y?x?z?y,x?0,z?1,y?
4.抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，准线为ｌ，A,B是抛物线上的两个动点，且满足
2?AFB?|MN|?．设线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N，则的最大值
|AB|3[来源:Zxxk.Com]是 .
【答案】1
4
【竞赛试题】2012年全国高中数学联赛试题及详细解析
