2010年高三数学高考知识点复习：基本不等式及其应用
2010年高考数学知识点复习
基本不等式(ab?一、选择题
1.设x,y∈R,则“x+y≤1”是“|x|+|y|≤2”成立的( )
2
2
a?b)及其应用 2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2222
解析:∵2|x||y|≤|x|+|y|＝x+y≤1,
222
∴(|x|+|y|)＝x+2|x||y|+y≤2. ∴|x|+|y|≤2.
取x＝0,y＝2,不满足x+y≤1,故是充分不必要条件.
2
2
答案:A
2.下列结论正确的是( ) A.当x＞0且x≠1时,lgx?1≥2 lgxB.当x＞0时,x?1x≥2
1的最小值是2 x1D.当0＜x≤2时,x?无最大值
xC.当x≥2时,x?解析:x?1x≥2x?1x?2,当且仅当x?1x,即x＝1时等号成立.
答案:B
22
3.若a,b都是正实数,π是圆周率,e是自然对数的底数,则下列各式中可能大于a+b的是( )
A.2(a+b-1) B.(D.
a?b2e)+ab C.(a+b) 22?ab 22
2
2
2
2
2
2
2
解析:对于A,因为a+b-2(a+b-1)＝(a-1)+(b-1)≥0,因此a+b≥2(a+b-1);对于B,a+b-
3a2?3b2-6ab3(a-b)2a?b2a?b222
［()+ab］＝＝≥0,因此a+b≥()+ab;对于D,因为
4422a+b≥2ab＞
2
2
??22
ab,所以a+b＞ab. 22综上,可知只有C满足条件.
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答案:C
4.某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g药品,他先将5 g的砝码放在左盘,将药品放在右盘使之平衡;然后又将5 g的砝码放在右盘,将药品放于左盘使之平衡,则此学生实际所得药品( )
A.小于10 g B.大于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 g 解析:设左、右臂长分别为t1、t2,第一次称的药品为x1,第二次称的药品为x2,则有5t1＝x1t2,x2t1＝5t2,所以x1+x2＝5(
t1t2?)＞5×2＝10,即大于10g. t2t1答案:B
ab
5.若实数a、b满足a+b＝2,则3+3的最小值是( )
A.18 B.6 C.23 D.243 解析:由均值不等式,得3+3≥23a?3b?23a?b?6，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以
a
b
3+3的最小值是6,故选B. 答案:B
6.一批货物随17列货车从A市以a km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于（
ab
a2
) km，那么这批货物全部运到B市，最快需要 20( )
A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h
400a2
h，由于两列货车的间距不得小于() km,所以第a20a16?()240020?400?16a≥8，当且仅当400?16a,即a＝17列货车到达时间为+aa400aa400解析:第一列货车到达B市的时间为
100(km/h)时成立，所以最快需要8 h,故选择B.
答案:B 二、填空题
22
7.已知a、b∈R,a+b+a+b＝24,则a+b的取值范围是_________________.
22
解析:∵a+b≥2ab,当且仅当a＝b时取“＝”， ∴2（a+b)≥(a+b),即a+b≥∴24-(a+b)＝a+b≥
2
2
2
2
2
2
2
2
12
(a+b),当且仅当a＝b时取“＝”. 212
(a+b),当且仅当a＝b时取“＝”, 2即(a+b)+2(a+b)-48≤0.
解关于a+b的二次不等式，得-8≤a+b≤6. 答案:-8≤a+b≤6
+
8.已知x,y∈R，且x+4y＝1,且x·y的最大值为____________. 解析:xy＝答案:
11x?4y211)?,当且仅当x＝4y＝时取等号. x·4y≤(2162441 16- 2 - / 4
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9.已知a,b,c都是正实数,且满足log4(16a+b)＝log2范围是___________.
解析:由条件知,16a+b＝ab?b＝由
ab,则使4a+b≥c恒成立的c的取值
16a16a,∴4a+b＝4a?. a?1a?116a＞0,得a＞1. a?116(t?1)44?20?4(t?)≥20+16＝36,当且仅当t＝,即t＝2ttt令a-1＝t,则4a+b＝4t?4?时取“＝”.
因此要使不等式4a+b≥c恒成立,只要c≤36.又因为c为正数,因此c∈(0,36］. 答案:(0,36］ 三、解答题
10.已知a,b,c都是正数,且a+b+c＝1,求证:证明:∵a,b,c都是正数,且a+b+c＝1,
111??≥9. abc1a?b?cbc1a?b?cac1a?b?cab??1??,??1??,??1?? aaaababbcacc111bcacab∴???1???1???1?? abcaabbcc∴＝3?bacbacbacbac??2??2? ?????≥3?2abbccaabbcca＝3+2+2+2＝9,
当且仅当a＝b＝c时取等号. ∴
111??≥9. abca2b2(a?b)2??11.（1）已知a,b是正常数，a≠b,x,y∈(0,+∞),求证：,并指出等号成xyx?y立的条件. (2)求函数f(x)＝
291,x∈(0,)的最小值,指出取最小值时x的值. ?x1?2x2(1)证明:∵a,b,x,y都是正数,
2a2b2b2xa2ya2y22bx222
?)(x+y)＝a+b+??∴(≥a+b+2ab＝(a+b),当且仅当,即bx＝ay
yxxyyx时取“＝”.
a2b2(a?b)2??∴,当且仅当bx＝ay时等号成立. xyx?y(2)解：∵0＜x＜∴0＜1-2x＜1.
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1, 22010年高三数学高考知识点复习：基本不等式及其应用
49(2?3)2???25, 由(1),知f(x)＝
2x1?2x1当且仅当3·2x＝2·（1-2x)，即x＝∴x＝
11∈(0,)时取“＝”. 521时,f(x)的最小值为25. 52
12.某单位建造一间地面面积为12 m的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制,房子侧面
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的长度x不得超过a米,房屋正面的造价为400元/m,房屋侧面的造价为150元/m,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用. (1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域.
(2)当侧面的长度为多少时,房屋的总造价最低?最低总造价是多少? 解:(1)由题意，可得y＝3(2x?150?1216?400)+5 800＝900(x?)+5 800(0＜x≤a). xx(2)y＝900(x?当且仅当x＝
1616)+5 800≥900×2x?+5 800＝13 000,
xx16,即x＝4时取等号.若a≥4,则当x＝4时,y有最小值13 000; x1616)+5 800-900(x2?)-5 800 x1x211?)］ x1x2当0＜a＜4,任取x1,x2∈(0,a］且x1＜x2, y1-y2＝900(x1?＝900［(x1-x2)+16(
＝
900(x1-x2)(x1x2-16),
x1x2∵x1＜x2≤a,
2
∴x1-x2＜0,x1x2＜a＜16. ∴y1-y2＞0.
16)+5 800在(0,a］上是减函数. x16∴当x＝a时,y有最小值900(a?)+5 800.
a∴y＝900(x?综上,①若a≥4,当侧面的长度为4米时,总造价最低,最低总造价是13 000元; 当0＜a＜4时,当侧面长度为a米时,总造价最低,最低总造价是900(a?16)+5 800元. a
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