第一节 定积分概念与性质
一、定积分问题举例 1? 曲边梯形的面积
曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间[a? b]上非负、连续? 由直线x?a、x?b、y?0及曲线y?f (x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧称为曲边? 求曲边梯形的面积的近似值?
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形? 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替? 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间[a? b]中任意插入若干个分点
a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b?
把[a? b]分成n个小区间
[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]?
它们的长度依次为Dx1? x1?x0 ? Dx2? x2?x1 ? ? ? ? ? Dxn ? xn ?xn?1 ?
经过每一个分点作平行于y 轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形? 在每个小区间
[xi?1? xi ]上任取一点x i ? 以[xi?1? xi ]为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n) ? 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值? 即
A?f (x 1)Dx1? f (x 2)Dx2?? ? ?? f (x n )Dxn??f(?i)?xi?
i?1n[来源:www.shulihua.net]
求曲边梯形的面积的精确值?
显然? 分点越多、每个小曲边梯形越窄? 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值? 因此? 要求曲边梯形面积A的精确值? 只需无限地增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 记
??max{Dx1? Dx2?? ? ?? Dxn }? 于是? 上述增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 相当于令??0? 所以曲边梯形的面积为
A?lim?f(?i)?xi?
??0i?1n 2? 变速直线运动的路程
设物体作直线运动? 已知速度v?v(t)是时间间隔[T 1? T 2]上t的连续函数? 且v(t)?0? 计算
在这段时间内物体所经过的路程S ? 求近似路程?
我们把时间间隔[T 1? T 2]分成n 个小的时间间隔Dti ? 在每个小的时间间隔Dti内? 物体运动看成是均速的? 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i)? 物体在时间间隔Dti内 运动的距离近似为DSi? v(t i) Dti ? 把物体在每一小的时间间隔Dti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 ? T 2]内所经过的路程S 的近似值? 具体做法是? 在时间间隔[T 1 ? T 2]内任意插入若干个分点
T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2?
把[T 1 ? T 2]分成n个小段
[t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ?
各小段时间的长依次为
Dt 1?t 1?t 0? Dt 2?t 2?t 1?? ? ?? Dt n ?t n ?t n?1?
相应地? 在各段时间内物体经过的路程依次为
DS 1? DS 2? ? ? ?? DS n?
在时间间隔[t i?1? t i]上任取一个时刻? i (t i?1?? i? t i)? 以? i时刻的速度v(? i)来代替[t i?1? t i]上各个时刻的速度? 得到部分路程DS i的近似值? 即
DS i? v(? i) Dt i (i?1? 2? ? ? ? ? n)?
于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值? 即
S??v(?i)?ti?
i?1n 求精确值?
记? ? max{Dt 1? Dt 2?? ? ?? Dt n}? 当??0时? 取上述和式的极限? 即得变速直线运动的路程
S?lim?v(?i)?ti?
??0i?1n 设函数y?f(x)在区间[a? b]上非负、连续? 求直线x?a、x?b、y?0 及曲线y?f (x)所围成的曲边梯形的面积?
(1)用分点a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把区间[a? b]分成n个小区间? [x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 记Dxi?xi?xi?1 (i?1? 2? ? ? ? ? n)? (2)任取x i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为
f(?i)?xi (i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求曲边梯形面积A的近似值为
A??f(?)?x?
iii?1n (3)记??max{Dx1? Dx2?? ? ?? Dxn }? 所以曲边梯形面积的精确值为 A?lim
设物体作直线运动? 已知速度v?v(t)是时间间隔[T 1? T 2]上t的连续函数? 且v(t)?0? 计算在这段时间内物体所经过的路程S ?
(1)用分点T1?t0?t1?t2?? ? ??t n?1?tn?T2把时间间隔[T 1 ? T 2]分成n个小时间 段? [t0? t1]? [t1? t2]? ? ? ?? [tn?1? tn] ? 记Dti ?ti?ti?1 (i?1? 2? ? ? ? ? n)?
(2)任取?i?[ti?1? ti]? 在时间段[ti?1? ti]内物体所经过的路程可近似为v(?i)Dti (i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求路程S 的近似值为 S???0?f(?)?x?
iii?1n?v(?)?t?
iii?1n (3)记??max{Dt1? Dt2?? ? ?? Dtn}? 所求路程的精确值为 S?lim
??0?v(?)?t?
iii?1n[来源:www.shulihua.net]
二、定积分定义
抛开上述问题的具体意义? 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括? 就抽象出下述定积分的定义?
定义 设函数f(x)在[a? b]上有界? 在[a? b]中任意插入若干个分点
a ?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn?b?
把区间[a? b]分成n个小区间
[x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ?
各小段区间的长依次为
Dx1?x1?x0? Dx2?x2?x1?? ? ?? Dxn ?xn ?xn?1?
在每个小区间[xi?1? xi]上任取一个点x i (xi?1? x i ? xi)? 作函数值f (x i)与小区间长度Dxi的乘积 f (x i) Dxi (i?1? 2?? ? ?? n) ? 并作出和
S??f(?i)?xi?
i?1n记? ? max{Dx1? Dx2?? ? ?? Dxn}? 如果不论对[a? b]怎样分法? 也不论在小区间[xi?1? xi]上点x i 怎样取法? 只要当??0时? 和S 总趋于确定的极限I? 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a? b]上的定积分? 记作?af(x)dx? 即
lim?f(?i)?xi?af(x)dx???0i?1bnb?
其中f (x)叫做被积函数? f (x)dx叫做被积表达式? x叫做积分变量? a 叫做积分下限? b 叫做积分上限? [a? b]叫做积分区间?
定义 设函数f(x)在[a? b]上有界? 用分点a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn?b把[a? b]分成n个小区间? [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 记Dxi?xi?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)? 任x i?[xi?1? xi] (i?1? 2?? ? ?? n)? 作和 S??f(?)?xii?1ni?
记??max{Dx1? Dx2?? ? ?? Dxn}? 如果当??0时? 上述和式的极限存在? 且极限值与区间[a? b]的分法和x i的取法无关? 则称这个极限为函数f(x)在区间[a? b]上的定积分? 记作
[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]?baf(x)dx?
即
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi?
??0i?1n 根据定积分的定义? 曲边梯形的面积为A??af(x)dx? 变速直线运动的路程为S??T2v(t)dt?
1bT 说明?
(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关? 而与积分变量的记法无关? 即
?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du?
(2)和?f(?i)?xi通常称为f (x)的积分和?
i?1n[来源:www.shulihua.net]bbb
(3)如果函数f (x)在[a? b]上的定积分存在? 我们就说f (x)在区间[a? b]上可积? 函数f(x)在[a? b]上满足什么条件时? f (x)在[a? b]上可积呢？ 定理1 设f (x)在区间[a? b]上连续? 则f (x) 在[a? b]上可积?
定理2 设f (x)在区间[a? b]上有界? 且只有有限个间断点? 则f (x) 在[a? b]上可积? 定积分的几何意义?
在区间[a? b]上? 当f(x)?0时? 积分?af(x)dx在几何上表示由曲线y?f (x)、两条直线x?a、x?b 与x轴所围成的曲边梯形的面积? 当f(x)?0时? 由曲线y ?f (x)、两条直线x?a、x?b 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方? 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值?
当f (x)既取得正值又取得负值时? 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方? 而其它部分在x轴的下方? 如果我们对面积赋以正负号? 在x轴上方的图形面积赋以正号? 在x轴下方的图形面积赋以负号? 则在一般情形下? 定积分?af(x)dx的几何意义为? 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x?a、x?b之间的各部分面积的代数和?
b?af(x)dx?lim?f(?i)?xi??lim?[?f(?i)]?xi???a[?f(x)]dx?
??0i?1??0i?1bnnbb用定积分的定义计算定积分?
例1. 利用定义计算定积分?0x2dx?
解 把区间[0? 1]分成n等份? 分点为和小区间长度为 1i xi?(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?(i?1? 2?? ? ?? n) ?
nn1 取?i?
ni(i?1? 2?? ? ?? n)? 作积分和 nnni)2?1 2f(?)?x???x??ii?ii?(nni?1i?1i?1n1111 ?3?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?(1?)(2?)? 6nnni?1n6 因为??
1
? 当l?0时? n??? 所以 n
1(1?1)(2?1)?1?
?f(?i)?xi?nlim??6nn3?n12xdx?lim0??0i?1 利定积分的几何意义求积分:
例2? 用定积分的几何意义求?0(1?x)dx?
1
高二数学 精品教案：1.5 2(选修2-2)
