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即存在唯一的x0?(??,)满足题意． 64（Ⅲ）依题意，F(x)?asinx?cos2x，令F(x)?asinx?cos2x?0
当sinx?0，即x?k?(k?Z)时，cos2x?1，从而x?k?(k?Z)不是方程F(x)?0的解，所以方程F(x)?0等价于关于x的方程a??现研究x?(0,?)U(?,2?)时方程解的情况 令h(x)??cos2x，x?k?(k?Z) sinxcos2x，x?(0,?)U(?,2?) sinx则问题转化为研究直线y?a与曲线y?h(x)在x?(0,?)U(?,2?)的交点情况
cosx(2sin2x?1)?3??h?(x)?，令，得或． x?x?h(x)?0sin2x22当x变化时，h(x)和h?(x)变化情况如下表
x h?(x) h(x) (0,) 2? Z ?? 20 1 (,?) 2? ] ?(?,3?) 23? 2(3?,2?) 2? ] 0 ?1 ? Z 当x?0且x趋近于0时，h(x)趋向于?? 当x??且x趋近于?时，h(x)趋向于?? 当x??且x趋近于?时，h(x)趋向于?? 当x?2?且x趋近于2?时，h(x)趋向于??
故当a?1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有无交点，在(?,2?)内有2个交点；当a??1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点，在(?,2?)内无交点；当?1?a?1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点，在(?,2?)内有2个交点由函数h(x)的周期性，可知当a??1时，直线y?a与曲线y?h(x)在
(0,n?)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y?a与曲线y?h(x)在(0,n?)内恰有2013个交点；当a??1时，直线y?a与曲线y?h(x)在
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(0,?)U(?,2?)内有3个交点，由周期性，2013?3?671，所以n?671?2?1342
综上，当a??1，n?1342时，函数F(x)?f(x)?ag(x)在(0,n?)内恰有2013个零点
三角函数的综合应用答案2010-2019十年真题分类汇编
