第六节 对数与对数函数
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对
数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，并理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0且a≠1)．
知识梳理 一、对数
1．定义：如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么幂指数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫做底数，N 叫做真数．
2．指数式与对数式的互化：ab＝N?logaN＝b. 3．对数的运算法则．
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，有
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN； M
(2)loga＝logaM－logaN；
N(3)logaMn＝nlogaM.
4．对数换底公式及对数恒等式．
(以下各式中a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，M>0，N>0) (1)对数恒等式：①alogaN＝N；②logaan＝n. (2)换底公式：logaN＝
logbN
. logba
(3)由换底公式可推出如下结论： 1
①logab＝；②logaM＝loganMn；
logba③logab·logba＝1；④logab·logbc·logca＝1； n
⑤logambn＝mlogab.
5．常用对数与自然对数：以10为底的对数，叫做常用对数，log10x记作lg x；以无理数e为底的对数叫做自然对数，logex记作ln x，其中e＝2.718….
二、对数函数的定义、图象与性质
1．定义：形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数．其中x是自变量，其定义域是(0，＋∞)，值域是(－∞，＋∞)．
2．对数函数的图象和性质，可以归纳于下表：
名称 函数式 底数a的取值分类 a>1 对数函数 y＝logax (a>0且a≠1) 0 定义域 值域 (0，＋∞) (－∞，＋∞) 图象 单调性 在(0，＋∞)上为增函数 图象过点(1,0)及(a,1)， 在(0，＋∞)上为减函数 图象过点(1,0)及(a,1)，?1，－1?； ?a?函数值的 若x>1，则y>0； 分布 若x＝1，则y＝0； 若0 1．(2012·安徽卷)log29×log34＝( ) 1A. 4C.2 1B. 2 D.4 ?1，－1?； ?a?若x>1，则y<0； 若x＝1，则y＝0； 若0 解析：(法一)由换底公式，得 lg 9lg 42lg 32lg 2 ×＝×＝4. lg 2lg 3lg 2lg 3 log29×log34＝ (法二)log29×log34＝log232×log322＝2log23×2log32＝4. 答案：D 1 2．(2013·汕尾二模)函数y＝x＋的定义域为( ) lg?x－1?A．(1，＋∞) C．[0,1) B． (1,2)∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) x≥0，??即?x＞1，??x≠2， x≥0， ?? 解析：由题意知?x－1＞0， ??lg?x－1?≠0， ∴1＜x＜2或x＞2，∴所以原 函数的定义域为：(1,2)∪(2，＋∞)．故选B. 答案：B 3．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是____________． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞) 11 4．化简对数式＋log3＝____________. log5315 11111 5×?＝log3＝－1. 解析：＋log3＝log35＋log3＝log3??15?log5315153答案：－1 1 1．(2012·大纲全国卷)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则( ) 2 A．x B．z 解析：x＝ln π>1，y＝log52＝D. 答案：D 111111 <，z＝e－＝，<＜1，∴y 31－ 2．(2013·上海卷)方程x＋＝3x1的实数解为________． 3－13解析：原方程整理后变为32x－2·3x－8＝0?3x＝4?x＝log34. 答案：log34 1．(2013·佛山一模)已知函数y＝f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则f ( f (的值等于________． 解析：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． 1) )4∵当x＞0时，f(x)＝log2x，∴f ( 11 ) ＝log2＝－2， 44则f ( f ( 1) ) ＝f(－2)＝－f(2)＝－1. 4答案：－1
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第六节对数与对数函数 文
