〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念
①如果xn?a,a?R,x?R,n?1,且n?N?,那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时,
a的n次方根用符号na表示;当n是偶数时,正数a的正的n次方根用符号na表示,负的n次方
根用符号?na表示;0的n次方根是0;负数a没有n次方根.
a叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.当n为奇数时,a为任意实数;当
②式子nn为偶数时,a?0.
③根式的性质:
(na)n?a;当
n为奇数时,
nan?a;当
n为偶数时,
n?a (a?0). an?|a|????a (a?0) mn(2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:a幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是:a? mn?nam(a?0,m,n?N?,且n?1).0的正分数指数
1m1?()n?n()m(a?0,m,n?N?,且n?1).0
aa的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质
①ar?as?ar?s(a?0,r,s?R) ②(ar)s?ars(a?0,r,s?R)
r③(ab)?arbr(a?0,b?0,r?R)
【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数 函数名称 定义 图象 函数指数函数 y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数 0?a?1 y?axa?1 yy?axyy?1(0,1)y?1(0,1)O
xOx
定义域 值域 R (0,??) 图象过定点(0,1),即当x过定点 奇偶性 单调性 ?0时,y?1. 在R上是减函数 非奇非偶 在R上是增函数 ax?1(x?0)函数值的 变化情况 ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)a变化对 图象的影响
在第一象限内,a越大图象越高;在第二象限内,a越大图象越低. 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若ax?N(a?0,且a?1),则x叫做以a为底N的对数,记作x?logaN,其中a叫做底数,
N叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:x?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0).
(2)几个重要的对数恒等式
loga1?0,logaa?1,logaab?b.
(3)常用对数与自然对数
常用对数:lgN,即log10(4)对数的运算性质 如果a①加法:logaN;自然对数:lnN,即loge. N(其中e?2.71828…)
?0,a?1,M?0,N?0,那么
MN
M?logaN?loga(MN) ②减法:logaM?logaN?logaM?logaMn(n?R) ④alogaN?N
③数乘:nloga
⑤logabMn?nlogbNlogaM(b?0,n?R) ⑥换底公式:logaN?(b?0,且b?1) blogba【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 函数对数函数 y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 0?a?1 1x? a?1 y图象 x? 1y?logaxyy?logax(1,0) O(1,0)xOx定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,??)上是增函数 (0,??) R 图象过定点(1,0),即当x?1时,y?0. 非奇非偶 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对 图象的影响 (6)反函数的概念
设函数果对于子x在第一象限内,a越大图象越靠低;在第四象限内,a越大图象越靠高. y?f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y?f(x)中解出x,得式子x??(y).如
y在C中的任何一个值,通过式子x??(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式
??(y)表示x是y的函数,函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数,记作x?f?1(y),
习惯上改写成
y?f?1(x).
(7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式③将xy?f(x)中反解出x?f?1(y);
?f?1(y)改写成y?f?1(x),并注明反函数的定义域.
(8)反函数的性质 ①原函数
②函数
y?f(x)与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称.
y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f?1(x)的值域、定义域.
③若P(a,b)在原函数④一般地,函数
y?f(x)的图象上,则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上.
y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数
y?x?叫做幂函数,其中x为自变量,?是常数.
(2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
②过定点:所有的幂函数在(0,??)都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果??0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,??)上为增函数.如果??0,则幂函数
的图象在(0,??)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与
y轴.
④奇偶性:当?为奇数时,幂函数为奇函数,当?为偶数时,幂函数为偶函数.当?qp?q(其中p,q互pqp质,p和q?Z),若是偶函数,若
p为奇数q为奇数时,则y?xqp是奇函数,若
p为奇数q为偶数时,则y?xp为偶数q为奇数时,则y?x是非奇非偶函数.
⑤图象特征:幂函数
y?x?,x?(0,??),当??1时,若0?x?1,其图象在直线y?x下方,若
x?1,其图象在直线y?x上方,当??1时,若0?x?1,其图象在直线y?x上方,若x?1,
其图象在直线
y?x下方.
指对幂函数知识点总结



