动力学
第十二章 动能定理
能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能定理。动能定理从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题。 本章介绍动能定理及其应用，并将综合运用动力学普遍定理分析较复杂的动力学问题。
第一节 动能的概念和计算
一、质点的动能
动能是物体机械运动强弱的又一种度量。设质点的质量为m，在某一位置时的速度为v，则该质点的动能等于它的质量与速度平方乘积的一半，用EK表示，即：
（12-1）
由上式可知，动能恒为正值，它是一个与速度方向无关的标量。动能的量纲为
2-2
dim Ek=[M][L][T] 在国际单位制中动能的单位为N·m（牛·米），即J（焦耳）。
动能和动量都是表征物体机械运动的量，都与物体的质量和速度有关，但各有其特点和适用的范围。动量为矢量，是以机械运动形式传递运动时的度量；而动能为标量，是机械运动形式转化为其它运动形式（如热、电等）的度量。 二、质点系的动能
质点系内各质点的动能的总和，称为质点系的动能，即
（12-2）
式中mi和vi分别表示质点系中任一质点的质量和速度的大小。
刚体是由无数质点组成的质点系，刚体作不同的运动时，各质点的速度分布不同，故刚体的动能应按照刚体的运动形式来计算。
三、平动刚体的动能
当刚体作平动时，在每一瞬时刚体内各质点的速度都相同，以刚体质心的速度vc为代表，于是，由式（12-2）可得平动刚体的动能
（12-3）
上式表明：平动刚体的动能等于刚体的质量与其质心速度平方乘积的一半。
四、定轴转动刚体的动能
设刚体在某瞬时绕固定轴z转动的角速度为ω，则与转动轴z相距为ri，质量为mi的质点的速度为vi=riω。于是，由式（12-2）可得定轴转动刚体的动能
故
（12-4）
上式表明：定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。
五、平面运动刚体的动能
刚体作平面运动时，任一瞬时的速度分布可看成绕其速度瞬心作瞬时转动，因此，该瞬时的动能可按式（12-4）进行计算。
取刚体质心C所在的平面图形如图12-1所示，设图形中的点P是某瞬时的瞬心，ω是平面图形转动的角速度，于是，平面运动刚体的动能为
（12-5）
式中，JP是刚体对速度瞬心的转动惯量。由于速度瞬心P的位置随时间而改变，应用上式进行计算有时不方便，故常采用另一种形式。
图12-1
根据转动惯量的平行轴定理有
式中，m是刚体的质量，d=CP，JC是刚体对于质心的转动惯量。代入式（12-5），可得
因为vc=dω，故
（12-6）
上式表明：平面运动刚体动能等于刚体随质心平动动能与绕质心转动动能之和。
第二节 功的概念和计算
力对物体的作用效果可以有各种度量。力的冲量是力在一段时间内对物体作用效果的度量。力的功则是力在其作用点所经过的一段路程中对物体的用效果的度量。
一、常力的功
设有一质点M在常力F的作用下沿直线运动，如图12-3所示。若质点由M1处移至M2的路程为s，则力 在路程s中所作的功定义为
（12-7）
图12-3
由上式可知，功是标量，可为正、负或零。功的量纲为
dimW=[M][L][T]·[L]=[M][L][T]
-2
2
-2
在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。
二、变力的功
设有质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图12-4所示。将曲线M1M2分成无限多个微段ds，在这一段弧长内，力F可视为不变，于是由式（12-7）得到在ds路程中力所作的微小功或称元功为
因为力F的元功不一定能表示为某一函数W的全微分，故采用符号d'。变力在曲线M1M2上所作的功等于在此段路程中所有元功的总和，即
图12-4
(12-8)
式中 s1和s2分别表示质点在起止位置时的弧坐标。
上式为沿曲线M1M2的线积分，其值一般与路径有关，并可化为坐标积分。 将
代入元功的表达式，得
于是力F在M1M2路程上的功为
（12-9）
上式称为功的解析表达式。
三、合力的功
设质点M受力系
的作用，它的合力为
则质点的合力FR的作用下沿有限曲线M1M2所作的功为
即
（12-10）
上式表明：作用于质点的合力在任一路程中所作的功，等于各分力在同一路程中所作的功
的代数和。 四、常见力的功
1．重力的功
设质量为m的质点M，由M1沿曲线M1M2运动到M2，如图12-5所示。重力mg在直角坐标轴上的投影为
Fx=0 Fy=0 Fz= -mg
代入式（12-9），可得重力在曲线M1M2上的功为
（12-11）
式中 h=z1-z2--质点起止位置的高度差。
上式表明：重力的功等于质点的重量与起止位置间的高度差的乘积，而与质点的运动路径无关。若质点M下降，h为正值，重力作功为正；若质点M上升，h为负值，重力作功亦为负。
动力学第12章
