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数学建模案例之
多变量无约束最优化
问题1[1]：一家彩电制造商计划推出两种产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商
建议零售价（MSRP）为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。公司付出的成本为19英寸彩电195美元/台，21英寸彩电225美元/台，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售量会影响21英寸彩电的销售量，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明
这里涉及较多的变量：
s：19英寸彩电的售出数量（台）； t：21英寸彩电的售出数量（台）； p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）； q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）； C：生产彩电的成本（美元）； R：彩电销售的收入（美元）； P：彩电销售的利润（美元） 这里涉及的常量有：
两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元，成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。
变量之间的相互关系确定：
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假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。
假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。 因此，19英寸彩电的销售价格为：
p=339 - a×s - 0.03×t，此处a=0.01
21英寸彩电的销售价格为：
q=399 - 0.01×t - 0.04×s
因此，总的销售收入为：
R=p×s + q×t
生产成本为：
C=400000 + 195×s + 225×t
净利润为：
P = R - C
因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。
2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
maxP(s,t)s.t.P(s,t)?(339?as?0.003t)s?(399?0.004s?0.01t)t? (400000?195s?225t)s?0,t?0
3．模型求解
3.1 求解方法
（1）求出驻点（s0，t0），即解方程组
???P(s,t)???s?0(s,t) ??P???t?0 专业资料
1）
（ . . . .
（2）判断是否在驻点处取得极值，方法如下：
1）先计算
?2P(s,t)D1?,2?s(s0,t0)?2P(s,t)?s2(s,t)00D2??2P(s,t)?t?s(s,t)00?2P(s,t)
?s?t(s,t)00?2P(s,t)?t2(s,t)002）若D1?0,D2?0，则（s0，t0）是极小值点；
若D1?0,D2?0，则（s0，t0）是极大值点； 若D2?0，则（s0，t0）不是极值点；
若D2?0，则不能肯定（s0，t0）是不是极值点，必须考察更高阶的偏导数。
3.2 计算结果
（1）利用Matlab计算出驻点为：（4735.04，7042.7）,其中a=0.01；
（2）利用Matlab计算出 D1=-0.02<0，D2=0.000351>0，因此P(s,t)在（4735，7043）处取得极大值：553641美元。
（3）辅助数据：p=270.52；q=309.63；C=2907950；利润率=0.190389。
3.3 结果解释
简单地讲，这家公司可以通过生产4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润是553641美元。
19英寸彩电的平均售价为270.52美元/台；21英寸彩电的平均售价为309.63美元/台；生产的总成本为 2907950美元；相应的利润率为19.0389%。
根据以上结果显示了是有利可图的，因此建议这家公司的推出新产品计划应该实行。
图形显示见下图。
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图1 彩电问题
4．灵敏性分析
在报告结论之前，应该对关于彩电市场和生产过程所作的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳定性。我们主要关心的是决策变量s、t的值，因为公司据此来确定生产量。在前面的计算中，我们假设a=0.01美元/台，下面考虑当19英寸的彩电的价格弹性系数a发生微小的变化时，公司的生产量以及利润将如何变化。
4.1 产量对a的灵敏性分析
P(s,t)?(339?as?0.003t)s?(399?0.004s?0.01t)t?(400000?195s?225t)（2）
它的驻点为：
1662000?s(a)???40000a?49 （3） ??t(a)?8700?581700?40000a?49?由（2）可得，19英寸彩电的价格弹性系数a的增加，会导致19英寸彩电的最优生产量s(a)的下降，而21英寸彩电的最优生产量t(a)会增加，见图2。
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图2 s和t关于a的变化的灵敏性曲线
我们计算得到灵敏性的具体数值（其中a=0.01,s=s(a),t=t(a)）：
S(s,a)?dsadta???1.14,S(t,a)???0.268 dasdat因此，如果19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，则应该将19英寸彩电的生产量减少11%，21英寸彩电的生产量增加2.7%。
4.2 利润对a的灵敏性分析
为了得到利润P(s,t)对于a的灵敏性，将（3）带入（2）,可得P(a):
14276000000a+51568000P(a)?
40000a-49 灵敏性计算结果为（其中a=0.01,P=P(a)）：
S(P,a)?dPa???0.405 daP因此，19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，会使利润下降约4%，见图3。
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