B [因为3S3＝a4－2、3S2＝a3－2、所以两式相减、得3(S3－S2)＝(a4－2)－(a3－2)、 即3a3＝a4－a3、 a4得a4＝4a3、所以q＝a3＝4.] 12．(20xx·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝3、a24＝a6、则S5＝________． 1211?1q3?2152??3 [设等比数列的公比为q、由已知a1＝3、a4＝a6、所以?3?＝3q、又1（1－35）a1（1－q5）3121q≠0、所以q＝3、所以S5＝＝＝3.] 1－q1－3393．等比数列{an}的各项均为实数、其前n项和为Sn、已知a3＝2、S3＝2、则a2＝________． 3－3或2 [法一：(直接法)∵数列{an}是等比数列、 39∴当q＝1时、a1＝a2＝a3＝、显然S3＝3a3＝. 22当q≠1时、由题意可知 a1（1－q3）9??1－q＝2， ?3??a1q2＝2，1解得q＝－2或q＝1(舍去). a33∴a2＝q＝2×(－2)＝－3. 3综上可知a2＝－3或2. 3法二：(优解法)由a3＝2得a1＋a2＝3. a3a3∴q2＋q＝3、 即2q2－q－1＝0、 6 / 15 1∴q＝－2或q＝1. a33∴a2＝q＝－3或2.] 4．(20xx·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中、a1＝1、a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和、若Sm＝63、求m. [解] (1)设{an}的公比为q、由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2、 解得q＝0(舍去)、q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N＋). 1－（－2）n(2)若an＝(－2)n－1、则Sn＝. 3由Sm＝63得(－2)m＝－188、 此方程没有正整数解． 若an＝2n－1、则Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64、解得m＝6. 综上、m＝6. 抓住基本量a1, q、借用方程思想求解是解答此类问题的关键、求解中要注意方法的择优． 考点2 等比数列的判定与证明 7 / 15 判定一个数列为等比数列的常见方法 an＋1(1)定义法：若an＝q(q是不为零的常数)、则数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：若a2n＋1＝anan＋2(n∈N＋、an≠0)、则数列{an}是等比数列； (3)通项公式法：若an＝Aqn－1(A、q是不为零的常数)、则数列{an}是等比数列． 5 设数列{an}中、a1＝1、a2＝3、an52*＝a－a＋2n＋1n、令bn＝an＋1－an(n∈N) 33(1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 8 / 15 52[解] (1)∵an＋2＝3an＋1－3an、 2∴an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)、而bn＝an＋1－an、 22∴bn＋1＝3bn、又b1＝a2－a1＝3、 22∴{bn}是首项为3、公比为3的等比数列． 2?2?n－1?2?n(2)由(1)知bn＝3×?3?＝?3?、 ?????2?n－1∴an－an－1＝?3?、 ??2?2?2?2?n－1∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋3＋?3?＋…＋?3?????＝?2?n1－?3????2?n?3?. ＝3－3·2??1－3[逆向问题] 已知数列{an}的前n项和为Sn、且Sn＝2an－3n(n∈N*). (1)求a1、a2、a3的值； (2)是否存在常数λ、使得{an＋λ}为等比数列？若存在、求出λ的值和通项公式an、若不存在、请说明理由． [解] (1)当n＝1时、S1＝a1＝2a1－3、解得a1＝3、 当n＝2时、S2＝a1＋a2＝2a2－6、解得a2＝9、 当n＝3时、S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9、解得a3＝21. (2)假设{an＋λ}是等比数列、则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)、 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)、解得λ＝3. 下面证明{an＋3}为等比数列： ∵Sn＝2an－3n、∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3、 ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3、即2an＋3＝an＋1、 ∴2(an＋3)＝an＋1＋3、∴an＋1＋3＝2、 an＋3∴存在λ＝3、使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6、公比为2的等比数列． ∴an＋3＝6×2n－1、即an＝3(2n－1)(n∈N*). 9 / 15 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法、其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列、则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)已知等比数列求参数的值、常采用特殊到一般的方法求解、如本例的逆向问题． [教师备选例题] 设数列{an}的前n项和为Sn、已知a1＝1、Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an、证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解] (1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2、 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5、∴b1＝a2－2a1＝3. ?Sn＋1＝4an＋2， ①又? Sn＝4an－1＋2（n≥2）， ②?①－②、得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)、 ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2). ∵bn＝an＋1－2an、∴bn＝2bn－1(n≥2)、 故{bn}是首项为3、公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1、 ∴an＋1an3－＝、 2n＋12n4 10 / 15
2024版新高考数学：等比数列及其前n项和含答案
