参考答案
一、单项选择 1.【答案】B
【解析】①该命题就是平行公理,即课本中的公理4,因此该命题是正确的;②如图,直线平面,,,且,则,,即平面内两条直交直线,都垂直于同一条直线,但,的位置关系并不是平行.另外,,的位置关系也可以是异面,如果把直线平移到平面外,此时与的位置关系仍是垂直,但此时,,的位置关系是异面.
③如图,在正方体中,易知,,但,因此该命题是错误的.
④该命题是线面垂直的性质定理,因此是正确的.综上可知①、④正确.
2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 【解析】∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直,∴A不成立;又平面PAB⊥平面PAE,∴平面PAB⊥平面PBC也不成立;∵BC∥AD,∴BC∥平面PAD,∴直线BC∥平面PAE也不成立.在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴D正确.
5.【答案】D 6.【答案】D
【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n,直线m、n确定了一个平面β.作与β平行的平面α,与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形.而这样的平面α有无数多个.
7.【答案】C
8.【答案】连接AC、BD交于O,连接OE,因OE∥SD.所以∠AEO为所求.设侧棱长与底面边长都等于2,则在⊿AEO中,OE=1,AO=,AE=, 于是【答案】C
9.【答案】A 10.【答案】D
11.【答案】C
【解析】取BC的中点E,则面, ,因此与平面所成角即为,设,则,,即有.
12.【答案】B 13.【答案】C 14.【答案】A
【解析】∵CD在平面BCD内,AB是平面BCD的斜线,由三垂线定理可得A.
15.【答案】A
16.【答案】B 17.【答案】D
【解析】可以是平面四边形,也可以是空间四边形,所以正确选项为D.
18.【答案】 D
【解析】正四棱锥P-ABCD中,PA、PC与底面ABCD所成角相等,但PA与PC相交,∴A错;如图(1)正方体中,a∥b∥c,满足a∥α,b∥β,α⊥β,故B错;图(2)正方体中,上、下底面为β、α,a、b为棱,满足a?α,b?β,a⊥b,但α∥β,故C错;
19.【答案】C
【解析】在平面DAB内过点B与直线BC成60°角的直线共有2条, 故在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有2条。 20.【答案】D 21.【答案】D
依次画出各选项的示意图:
【解析】依次画出各选项的示意图:
显然D不正确,选D
22.【答案】D
【解析】若此四边形是平面图形,则一定是矩形.若为空间图形,则为有三个角为直角的空间四边形.
23.【答案】A 24.【答案】B
【解析】过与该点作一平面与平面相交,则交线与平行,那么在平面内过该点的直线中,除这一条直线外,其余的与都不平行,所以正确选项为B.
25.【答案】D
【解析】考虑平面外的直线与平面有两种位置关系可得正确选项为D.
26.【答案】C 27.【答案】A
【解析】⑴两条直线都和同一个平面平行,这两条直线三种位置关系都有可能
⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面
⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线三种位置关系都有可能
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线也可在这个平面内
28.【答案】D
29.【答案】D
【解析】由中位线定理得四边形是平行四边形,再由已知可得相邻两边垂直且相等,所以正确选项为D,即有 ,,
∴ 四边形EFGH是正方形.
30.【答案】A 31.【答案】D
32.【答案】C
33.【答案】C 34.【答案】A 35.【答案】C
【解析】∵△ABC所在小圆面积为16π, ∴小圆半径r=O′A=4,
500π4πR3500π
又球体积为,∴=,
333
∴球半径R=5,∴OO′=3,
故三棱锥的高为PO′=R±OO′=8或2,故选C.
36.【答案】D
【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,∵正三角形ABC,∴ E为BC中点,∵ BC⊥AE,SA⊥BC,∴ BC⊥面SAE,∴ BC⊥AF,AF⊥SE,∴ AF⊥面SBC,∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角,由正三角形边长3,∴∴ ,,∴
37.【答案】B 38.【答案】D
【解析】若A、B、C、D四点不在一个平面内,如果一边3个,另一边1个,适合题意的平面有4个;如果每边2个,适合题意的平面有3个,共7个.若A、B、C、D四点在一个平面内,则距离相等的平面有无数个.
39.【答案】B
,又.
40.【答案】D
二、填空题
41.【答案】 或
42.【答案】平行四边形
【解析】由α∥β∥γ,a与AF相交于A有:BG面ACF,
∴ BG∥CF,同理有:HE∥CF,∴BG∥HE.同理BH∥GE,∴ 四边形BGEH为平行四边形.
43.【答案】①②
44.【答案】②④
45.【答案】③⑤ ②⑤
【解析】若,,则; 若,,则。
三、解答题
46.【答案】(1)证明:∵ABCD为矩形 ∴且
∵ ∴且
∴平面,又∵平面PAD ∴平面平面 (2) ∵
由(1)知平面,且 ∴平面分 ∴
47.【答案】(1)在直角梯形中,,为的中点,则,又, ,知.在四棱锥中,,,平面,则平面.因为平面,所以又, 且是平面内两条相交直线, 故平面.
(2)由(1)知平面, 知三棱锥的体积 由直角梯形中,,,,得三棱锥中,, 当且仅当,即时取等号,(此时,落在线段内).故当时, 三棱锥的体积最大,最大值为.
48.【答案】(1)∵O是AC的中点,E是PC的中点,∴OE∥AP,又∵OE平面BDE,PA平面BDE,∴PA∥平面BDE
(2)∵PO底面ABCD,∴POBD,又∵ACBD,且ACPO=O∴BD平面PAC,而BD平面BDE,∴平面PAC平面BDE.
49.【答案】(Ⅰ)∵⊥平面 ABCD,∴. 底面是正方形,.
与是平面内的两条相交直线,∴⊥平面. 平面,∴平面平面. (Ⅱ)过作于,则. ∵⊥平面 ABCD,平面. 在中,求得.而,
所以四棱台的体积.
(Ⅲ)设与交于点O,连接. 过点B在平面内作于M,连接. 由(Ⅰ)知⊥平面,. 所以平面, .
所以,是二面角的平面角. 在中,求得,从而求得. 在中,求得,同理可求得. 在中,由余弦定理,求得.
50.【答案】
(1)连接
依题意得是圆柱底面圆的圆心 ∴是圆柱底面圆的直径 ∵分别为,,的中点 ∴ ∴∥
∵,四边形是平行四边形 ∴∥ ∴∥
∴四点共面