2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案（学生卷）
2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案
一、选择题：
a1．已知a,b?N，
100a是一个10位数，是一个120位数，则b的值是 （ ）
b?A?7
?B?8 ?C?9
?D?10
解：B．
100?910?119?lga?120?b?由题设：?，从而．∴ b?8． b1.191.2??9?lga?102．将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为
1,2,?,8．若同色球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和
的排列方法的种数为
（ ）
?A?31
?B?27 ?C?54 ?D?62
解：A．
1?2?3???8?36．
41到8中任取四个不同的数求和，可以得到C8． ?70种答案（可以相同）
其中和为18的共有8种：?8,7,2,1?，?8,6,3,1?，?8,5,4,1?，?8,5,3,2?，?7,6,4,1?，
?7,6,3,2?，?7,5,4,2?，?6,5,4,3?．
∴ 4个红球对应序号之和小于4个蓝球序号之和的排列数为
70?8?31． 23．若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等，则该圆柱的体积的最小可能是 （ ）
?A?48?
解：C．
?B?50?
?C?54?
22
?D?66?
2r，r?2． r?2设圆柱底面半径为r，高为h．则?rh?2?r?2?rh，即h?2rr3?2?从而V??r．令t?r?2?0，则 r?2r?22V?t?2?82?1???t2?6t?12???t?1??8?t???11?27． 2?tt?t?∴ 当t?1时，V取最小值54?．
1
32005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案（学生卷）
4．已知?,?均为锐角，且满足sin2??cos?????，则?与?的关系 （ ）
?A????
解：C．
?B????
?C????
?D?????2
?由题设：sin2??cos?cos??sin?sin?． ∴ sin??cot??cos??sin??sin?． ∴ ???．
5．正四面体的4个面上分别写着1，2，3，4．将4个这样的均匀正四面体投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是 （ ）
?A?8
1
?B?64
?13． 169
?C?16
1
?D?16
13解：D．
44??24?4?23?446．甲、乙、丙，3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么整个比赛的第10局的输方 （ ）
?A?必是甲
?B?必是乙
?C?必是丙
?D?不能确定
解：A．
丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛．
又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局． 三个人之间总共打了（8+4+13）=25局．
考察甲，总共打了12局，当了13次裁判．所以他输了12次．
所以当n是偶数时，第n局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲． 二、填空题：
?????27．已知向量a?1,2，b??2,1．若正数k和t使得x?a??t?1?b与
???????1?y??ka?b垂直．则k的最小值是 ．
t解：2．
????????2?1??21a?b?3，a?b?0．0?x?y??ka??t??b，即k?t??2．
t?t?8．在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点．若凸
2
2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案（学生卷）
n边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其他整点，则n? ．
解：n?3或4．
n?3或4显然满足题意．
当n?5，考察其顶点A1?x1,y1?，A2?x2,y2?，A3?x3,y3?，A4?x4,y4?，A5?x5,y5?，由抽屉原理知道必然有两点的横坐标与纵坐标的奇偶性完全相同，不妨设为Ai?xi,yi?，
Aj?xj,yj?，i?j．则AiAj的中点必然是一个整点．而由凸n边形的性质知道，线段AiAj的中点必然在该多边形的内部或者边上．
9．若实数x,y满足x?0，且max?1?x,x?1??y?x?2．则二元函数u?x,y?
?2x?y的最小值是 ．
解：1．
由题意：x?1?y?x?2，且x?0． ∴ u?x,y??2x?y?x?1?2x???3x?1?2, x?1．
?x?1?1, 0?x?11 ? ．?k?11?xkn?110．设方程x?1（n为奇数）的n个根为1,x1,x2,?,xn?1，则解：
nn?1． 22k?2k?xk?cos?isin，k?1,2,3,?,n?1．注意到
nnxk?cos?2k??2k?2k??2k?????isin?cos?2???isin2????? nnnn????2?n?k??2?n?k???cos?isin?xn?k．
nn∴
xkxk11111??????1． 1?xk1?xn?k1?xk1?xk1?xkxkxk?xk1n?1． ??2k?11?xk3
n?1而n为奇数，所以n?1为偶数，从而
2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题及参考答案
