全国高中数学历届(2009-2024)联赛与各省市预赛试题汇编
专题18集合真题汇编与预赛典型例题
1．【2024年全国联赛】若实数集合的值为 【答案】
.
.
的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x
【解析】由题意知，x为负值，
2．【2024年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈ A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为 【答案】24 【解析】由条件知，故B∩C的元素个数为24. 3．【2013年全国联赛】设集合【答案】-5 【解析】 易知，当当因此，集合
时，时，
.
.
.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
.
.
；
.则集合中所有元素的和为______.
.
从而，集合中所有元素的和为4．【2011年全国联赛】设集合
，则集合
【答案】【解析】
______.
显然，在集合的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，
.
从而，集合的四个元素分别为
.
因此，集合故答案为:
.
5．【2024年全国联赛】设V是空间中2024个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集. 【答案】
【解析】我们来证明一个更为一般的引理：简单连通图H有n个顶点，m条边，则一定可以将其边集划分为
个二元子集，二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。
证明：归纳对m，m=1，2，3，显然成立. 设结论对m≤k成立，k≥3， 则m=k+1时，考虑所有叶子顶点
，若有两片叶子
连在同一顶点B上，则将AiB与AjB分为个二元子集且两两不相交，结论成立，
度为2，设Bi与Ai，C相连，将
与
二元子集，对其余m-2条边由归纳假设，可分为否则设
分别接在顶点
上，若存在
BiC取下，同理由归纳假设结论成立， 否则对任意
，将
去掉，得图
，则在
中没有叶子结点，
连通，则
为
一个环，此时设B1在环上与C，D相连，在H中把引理证毕.故原命题成立. 6．【2015年全国联赛】设求【答案】【解析】 由条件知于是则
的值.
与B1C去掉，图依然连通，由归纳假设同理可证，
为四个有理数，使得.
为六个互不相同的数，且其中没有两个为相反数.
的绝对值互不相等. 不妨设
中最小的、次小的两个数分别为
. .
故
.
结合由此易知
.
经检验，两组解均满足条件. 从而，
7．【2015年全国联赛】设对任意
，均有
.若.
，其中，
个互不相同的有限集合，满足
表示有限集合的元素个数），证明：存在
，只可能
.
，使得属于
【答案】见解析 【解析】 不妨设设在设包含
. 中与
中的至少个集合.
不相交的集合有个，重新记为
.
.
；
的集合有个，重新记为
，即
由已知条件，得于是，得到一个映射显然，为单射.从而，设在
. 中除去
.
.
后，在剩下的
个集合中，设包含
个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的
的集合个集合中
有个，由于剩下的每个集合与
的交非空，即包含某个，从而，
. ①
不妨设则由式①知又由于
.
，即在剩下的
，故
个集合中，包含的集合至少有均包含.
个.
因此，包含的集合个数至少为
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2024)试题汇编 集合(解析版)
