三角函数 解三角形热点训练
1．(2024·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a＝3c，b＝2，cos B＝2
3，求c的值；
(2)若
sin Acos πa＝B
2b
，求sin??B＋2??的值． 解：(1)因为a＝3c，b＝2，cos B＝2
3，
cos B＝a2＋c2－b2
由余弦定理，得2ac
，
2（3c）2＋c2－（2）2即3＝2×3c×c，解得c2＝13.所以c＝33. (2)因为sin Acos a＝B2b
，
由正弦定理abcos Bsin A＝sin B，得2b＝sin B
b，
所以cos B＝2sin B.
从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)， 故cos2B＝4
5
. 因为sin B＞0，所以cos B＝2sin B＞0，从而cos B＝25
5. 因此sin?π?B＋252??＝cos B＝5
. 2．(2024·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间??－π3，m??上的最大值为3
2，求m的最小值． 解：(1)f(x)＝13
2(1－cos 2x)＋2sin 2x＝sin??2x－π6??＋12， 所以f(x)的最小正周期T＝2π
2＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－π1
6)＋2. 由题意知－π
3≤x≤m，
所以－5π6≤2x－π6≤2m－π6
. 要使得f(x)在??－π3，m??上的最大值为3
2
，
ππ
－，m?上的最大值为1， 即sin (2x－)在??6?3πππ
所以2m－≥，即m≥.
623π
所以m的最小值为.
3
3．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋23sin xcos x(x∈R)． (1)求f(x)的最小正周期；
1
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求
7△ABC中线AD的长．
π2x－?. 解：(1)f(x)＝－cos 2x＋3sin 2x＝2sin?6??2π
所以T＝＝π.所以函数f(x)的最小正周期为π.
2π2x－?， (2)由(1)知f(x)＝2sin?6??
π
2A－?＝1， 因为在△ABC中f(A)＝2，所以sin?6??πππ1
所以2A－＝，所以A＝.又cos B＝且B∈(0，π)，
623743
所以sin B＝，
7所以sin C＝sin (A＋B)＝
3114353×＋×＝， 272714ca5a
＝，得＝， sin Csin A533142
在△ABC中，由正弦定理得
7
所以a＝7，所以BD＝. 2在△ABD中，由余弦定理得， AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝ 52＋
?7?－2×5×7×1＝129，
?2?274
129
. 2
2
因此△ABC的中线AD＝
4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积a2
为. 3sin A
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
1a2
解：(1)由题设得acsin B＝，
23sin A1a
即csin B＝. 23sin A
1sin A由正弦定理得sin Csin B＝.
23sin A2
故sin Bsin C＝. 3(2)由题设及(1)得
1
cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
212π
即cos(B＋C)＝－，所以B＋C＝. 23π
故A＝. 3
1a2
由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.
23sin A由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9， 由bc＝8，得b＋c＝33. 故△ABC的周长为3＋33.
5．(2024·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C.
(1)求cos B的值； π
2B＋?的值． (2)求sin?6??
bc
解：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，
sin Bsin C即bsin C＝csin B.
又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a. 42
因为b＋c＝2a，所以b＝a，c＝a.
33
a2＋c2－b2
2ac
416a2＋a2－a2
991＝＝－.
242·a·a3
15， 4
所以cos B＝
(2)由(1)可得sin B＝1－cos2B＝从而sin 2B＝2sin Bcos B＝－7
cos 2B＝cos2B－sin2B＝－，
8
15， 8
π35＋7ππ153712B＋?＝sin 2Bcos ＋cos 2Bsin ＝－故sin?×－×＝－. 6??66828216
6．(2024·广州六校联考)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
解：(1)依题设f(x)＝a·b＝2cos2 x－3sin 2x＝1＋cos 2x－ π
2x＋?， 3sin 2x＝1＋2cos?3??π
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
3ππ
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
63
ππ
所以函数y＝f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
63π
2A＋?＝－1， (2)因为f(A)＝1＋2cos?3??πππ7π
2A＋?＝－1，又<2A＋<， 所以cos?3??333ππ
所以2A＋＝π，所以A＝. 33
因为a＝7，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.① 因为向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线， 所以2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，② 由①②得b＝3，c＝2.
2024年高考数学大一轮复习 三角函数 解三角形 热点训练
