于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数. ★已知函数f?x??e?ax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0．
x（1）求a的取值范围；
（2）求证：x1?x2?2x0； （3）求证：x1?x2?2； （4）求证：x1x2?1．
x解：（1）f??x??e?a，若a?0，则f??x??0，f?x?在R上单调递增，
[来源学。科。网]
f?x?至多有一个零点，舍去；则必有a?0，得f?x?在???,lna?上递减，学*科网
在?lna,???上递增，要使f?x?有两个不同的零点，则须有f?lna??0?a?e．
（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x???时，f?x????；当x???时，f?x????）．
（3）由所证结论可以看出，这已不再是f?x?的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：
（ii）构造函数G?x??g?x??g?2?x?，则
[来源学。科。网]
G??x??g??x??g??2?x?ex?x?1?e2?x?1?x?学*科网 ??22x?2?x??exe2?x???x?1??2???x?2?x?2???
（4）（i）同上；
（ii）构造函数G?x??g?x??g??1??，则 ?x?G??x??g??x??1?1?g???x2?x?1?1?ex??1?xe?x?1?1?x? ???2x2x2?1????x?1ex?xex??x?1??x2??当0?x?1时，x?1?0，但因式e?xex的符号不容易看出，引进辅助函数??x??ex?xex，则
x11???x??ex???1?e，当x??0,1?时，???x??0，得??x?在?0,1?上递增，有??x????1??0，则
x1x?1????1?G??x??0，得G?x?在?0,1?上递增，有G?x??G?1??0，即g?x??g???0?x?1?；
?x?（iii）将x1代入（ii）中不等式得g?x1??g?x2??g??1?1x?1，又，?1，g?x?在?1,???上递增，?2xx?1?1
专题1.7 极值点偏移第五招---函数的选取(解析版)—20届高考压轴题讲义(解答题)
