高中数学竞赛讲义（下）
高中数学竞赛讲义+ 完美数学高考指导㈠
高中数学竞赛讲义（一）
——集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各 个对象称为元素，用小写字母来表示，元素X在集合A中，称或属于A，记为穴U工，否则称X不属于A,记作五任力。 例如，通常用N,乙。，从。分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合 称为空集，用°来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如｛1, 2, 3）:描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如｛有理数）,仄卜> °）分别表示有理数集和 正实数集。
定义2子集：对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合3中的元素，则A叫做8的子集， 记为乂［8,例如规定空集是任何集合的子集，如果A是8的子集，8也是A的子集，则称A与8相等。 如果A是3的子集，而且3中存在元素不属于A,则A叫8的真子集。
定义3交集
达= （五,己a且K0为.
定义4并集，\｛西,'\或''.
定义5补集，若“二心则且无史”）称为A在/中的补集。
定义6差集
定义7集合院卜《天《九五￡见°〈乃记作开区间（见幼，集合
A\\B = {x\\xeAr§.x^S)
［x\\a 定理1集合的性质：对任意集合A, B, C,有： （1）5n伊us=（神）心八3； （2） ^u（5nc）=（JU5）nwo; （3）6工UGB二GUfW （4）cL^nc^ = cL（^U5）. 【证明】这里仅证（1）、（3）,其余由读者自己完成。 （1）若工七/「|。1^2）,则天￡力，且工￡8或苫￡二，所以工亡（4口的或工七（用ric）,即工七（^n^）u（^nQ. 反之， （5n3） U（*ri⑦，则了e（WPIB）或工e （ xe ，即x e刃且了e3UC）, 第1页共72页 高中数学竞赛讲义（下） （3）若则尤或犬SB ,所以x0或所以工任（达门的，又m,所以 万�。］（为「〕的，即6力0。送0。1（月门的，反之也有Gun为qGRUgA 定理2加法原理：做一件事有花类办法，第一类办法中有冽1种不同的方法，第二类办法中有次2种不同的方 法，…，第一类办法中有烟日种不同的方法，那么完成这件事一共有N=阳1+\+…+\种不同的方法。 定理3乘法原理：做一件事分抬个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有次2种不同的方法，…，第履步 铲X种不同的方法，那么完成这件事一共有N二加】?\?,…冽》种不同的方法。 二、方法与例题 1 .利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例］设M = = 2KJEZ）,求证： （1） 2左一1�血,（乃eZ）： （2） 伏-2eK（丘 Z）： （3）若P e e M ,则pg e M. ［证明］（1）因为忆左一\且次—1二一—作一1尸，所以盐—le於. （2）假设4左一2�取齿￡2）,则存在xjeZ,使4化_2 = /一7;由于工一沙和x+y有相同的奇偶性， 所以1 一尸 2 == \一力5+丁）是奇数或4的倍数，不可能等于4此—2,假设不成立，所以4无一26 （3）设P 二/ 一/,4 二/一/2,%乂风力￡ /，则幽= （/ 一 /）（/一/） -a1 a? +y/2 _ 2x^2 _,%2 :陋一网二-（xb- ya）2 � M （因为工。一冲eZ，x占一四wZ）o 2.利用子集的定义证明集合相等，先证金匚8,再证8匚金，则A=8。 例2设A, B是两个集合，又设集合M满足 Ar\\M = Br\\M = A［\\BTA\\JB\\^M = A\\JBt 求集合 M （用 A, B 表示）。 【解诜证（乂口8）=公，若方因为刃fW = /n3 ,所以兀一门肱出七孤，所以（力口的墨取； 再证公￡ （工「|8）,若工e M,则k七A（_\\ B\\JM = 4UE. i）若无e A,则无七/p|/ = dpi 3.2）若穴e 5 , e8n%二工n§。所以Mq（幺n班 第1页共72页 则才 高中数学竞赛讲义（下） 综上，M = AC\\B. -~3.分类讨论思想的应用。 例彳 / = {x卜“ 一%+ 2 = 0},B = {x卜2— 数+以-1 = 0},C = {x卜” 一/x+2 = 0）. Xus二aanc二C,求凡取 【解】依题设，*=Q2）,再由汇2 一以彳+镇一1 =。解得汇=以-1或芯=1, 因为』U3二月，所以5匚/，所以Q - lu工，所以口一1=1或2,所以a二2或工 因为』ne = C,所以。匚从若e = 0,则&=掰2一8 <0 ,即一2也 例4集合A, B,。是/=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}的子集，（1）若/1]8 = ',求有序集合对（A, B） 的个数；（2）求/的非空其子集的个数。 【解】（1）集合/可划分为三个不相交的子集：AW, B\\A, 3 J中的每个元素恰属于其中一个子集，10个 元素共有31。种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有31。个。 （2）/的子集分三类：空集，非空真子集，集合/本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者 不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有2口= 1024个，非空真 子集有1022个。 5 .配对方法。 例5给定集合/=023,…潭）的小个子集：4 何一个其他子集后将不再具有该性质，求化的值。 【解】将/的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2*一1对，每一对不能同在这上个子集中，因此, 小二2乂一】：其次，每一对中必有一个在这上个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为GA与A,并设 区「14则41射/，从而可以在上个子集中再添加G工，与已知矛盾，所以总之2\。综上，上= 2\」。 6 .竞赛常用方法与例问题。 定理4容斥原理；用㈤表示集合A的元素个数，则/同+ +忸|-M门题 …，人，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加/的任 MUEUC|=|H|+⑶+矽-以门即-必门4-忸门。|+恒口3^4,需要“此结论可以推广到方个集合的情 Z 况，即 第1页共72页
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