v1.0 可编辑可修改 初中数学竞赛专题——因式分解
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a-b=(a+b)(a-b)； (2)a±2ab+b=(a±b)； (3)a+b=(a+b)(a-ab+b)； (4)a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数； (8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数； (9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x
3
5n-1nn
n
n-1
n-2
n-32
n-2
n-1
n
n
n-1
n-2
n-32
n-2
n-1
n
n
n-1
n-2
n-32
n-2
n-1
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
y+4x
3
3n-1n+2
y-2xy；
n-1n+4
(2)x-8y-z-6xyz； (3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；
2
2
2
3
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v1.0 可编辑可修改 (4)a7-a5b2+a2b5-b7
．
解 (1)原式=-2xn-1yn
(x4
n-2x2
ny2
+y4
) =-2xn-1yn
[(x2
n)2
-2x2
ny2
+(y2)2
] =-2xn-1yn
(x2
n-y2)2
=-2xn-1yn
(xn
-y)2
(xn
+y)2
． (2)原式=x3
+(-2y)3
+(-z)3
-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2
+4y2
+z2
+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2
-2ab+b2
)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2
+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2
+(-b)2
+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2
(4)原式=(a7
-a5b2
)+(a2b5
-b7
) =a5
(a2
-b2
)+b5
(a2
-b2
) =(a2
-b2
)(a5
+b5
)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4
-a3
b+a2b2
-ab3
+b4
) =(a+b)2
(a-b)(a4
-a3
b+a2b2
-ab3
+b4
) 例2 分解因式：a3
+b3
+c3
-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式
(a+b)3
=a3
+3a2
b+3ab2
+b3
的正确性，现将此公式变形为
a3
+b3
=(a+b)3
-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解 原式=(a+b)3
-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3
］-3ab(a+b+c)
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v1.0 可编辑可修改 =(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a+b+c-3abc
3
3
3
3
3
3
2
2
2
22
3
3
3
3
3
3
显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc；当a+b+c＞0时，则a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． 例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．
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14
13
2
3
3
3
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解． 解 因为
x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)， 所以
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15
14
13
2
n
n
15
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项
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初中数学竞赛因式分解专题
