2024届高考数学二轮复习 第一篇 专题二 函数与导数 第2讲 导数的简单应用与定积分教案 理

第2讲 导数的简单应用与定积分

1.(2024·全国Ⅰ卷,理5)设函数f(x)=x+(a-1)x+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )

3

2

(A)y=-2x (B)y=-x

(C)y=2x (D)y=x

解析:因为函数f(x)=x+(a-1)x+ax为奇函数, 所以f(-1)+f(1)=0,

所以-1+a-1-a+(1+a-1+a)=0,解得a=1, 所以f(x)=x+x,所以f'(x)=3x+1, 所以f'(0)=1,

所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.

2.(2014·全国Ⅱ卷,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点 (0,0) 处的切线方程为y=2x,则a等于( D )

(A)0 (B)1

(C)2

(D)3

3

2

3

2

解析: y'=a-,当x=0时,y'=a-1即是y=2x的斜率,所以a-1=2,所以a=3.故选D.

2

x-1

3.(2017·全国Ⅱ卷,理11)若x=-2是函数f(x)=(x+ax-1)e的极值点,则f(x)的极小值为( A )

(A)-1 (B)-2e (C)5e (D)1 解析:f'(x)=[x+(a+2)x+a-1]·e 则f'(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e=0得a=-1, 则f(x)=(x-x-1)·e, f'(x)=(x+x-2)·e, 令f'(x)=0,得x=-2或x=1, 当x<-2或x>1时,f'(x)>0, 当-2

则f(x)极小值为f(1)=-1.故选A.

x

4.(2015·全国Ⅰ卷,理12)设函数f(x)=e(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( D )

2

x-1

2

x-1

-3

2

x-1

-3

-3

(A)-,1 (B)-,

(C), (D),1

(2x0-1)-a(x0-1)<0,

解析:由f(x0)<0,即得

(2x0-1)

当x0=1时,得e<0,显然不成立,所以x0≠1.

若x0>1,则a>.

令g(x)=,则g'(x)=.

当x∈1,时,g'(x)<0,g(x)为减函数,

当x∈,+∞时,g'(x)>0,g(x)为增函数,

要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)

得3e

23

因为x0<1,所以a<.

易知,当x∈(-∞,0)时,g'(x)>0,g(x)为增函数, 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,

要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)≤a

得≤a<1(满足a<1),故选D.

13)曲线

y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程

5.(2024·全国Ⅱ卷,理为 .

解析:因为y=2ln(x+1),所以y'=令x=0,得y'=2,

由切线的几何意义得切线斜率为2, 又切点(0,0),

所以切线方程为y=2x. 答案:y=2x

.

6.(2024·全国Ⅲ卷,理14)曲线y=(ax+1)e在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .

x

解析:因为y'=(ax+a+1)e, 所以当x=0时,y'=a+1, 所以a+1=-2,得a=-3. 答案:-3

7.(2024·全国Ⅰ卷,理16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .

22

解析:f'(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cosx-1)=2(2cosx+cos x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1).

因为cos x+1≥0,

x

所以当cos x<时,即x∈f'(x)<0,f(x)单调递减;

+2kπ,+2kπ,k∈Z,

当cos x>时,+2kπ,+2kπ,k∈Z,

f'(x)>0,f(x)单调递增.

所以当x=+2kπ,k∈Z,sin x=-,cos x=,

f(x)有最小值.

又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),

所以f(x)min=2×-×1+=-.

答案:-

8.(2024·全国Ⅰ卷,理21)已知函数f(x)=-x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),

f'(x)=--1+=-.

①若a≤2,则f'(x)≤0, 当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②若a>2,令f'(x)=0得,

x=或x=.

当x∈0,f'(x)<0;

∪,+∞时,

当x∈,时,f'(x)>0.

所以f(x)在0,,,+∞上单调递减,在,

上单调递增.

(2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x-ax+1=0, 所以x1x2=1,不妨设x11.

2

由于=--1+a=-2+a=-2+a,

所以

设函数g(x)=-x+2ln x,

由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减, 又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0.

所以-x2+2ln x2<0,

即

1.考查角度

(1)考查导数的几何意义的应用,包括求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等;

(2)考查导数在研究函数性质中的应用,包括利用导数研究函数性质判断函数图象、利用导数求函数的极值和最值、利用导数研究不等式与方程等. 2.题型及难易度

选择题、填空题、解答题均有,其中导数几何意义的应用为中等难度偏下,其他问题均属于较难的试题.

(对应学生用书第12~14页)

导数的几何意义

【例1】 (1)(2024·山东日照校际联考)已知f(x)=e(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+2,直线l是f(x)与g(x)的公切线,则直线l的方程为( )

x

(A)y=x或y=x-1 (B)y=-ex或y=-x-1 (C)y=ex或y=x+1

(D)y=-x或y=-x+1

(2)(2024·河南南阳一中三模)经过原点(0,0)作函数f(x)=x+3x图象的切线,则切线方程为 ;

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(3)(2024·黑龙江省哈尔滨九中二模)设函数f(x)=(x-a)+(ln x-2a).其中x>0,a∈R,存在

3

2

x0使得f(x0)≤成立,则实数a的值为 . 解析:(1)设切点分别为(x1,

),(x2,ln x2+2),

因为f'(x)=e,g'(x)=,

x

所以==.

所以=,

所以(x2-1)(ln x2+1)=0,

所以x2=1或x2=,

因此直线l的方程为y-2=1·(x-1)或y-1=e·x-即y=ex或y=x+1.选C.

,