2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2
? 抛物线方程为: y2?4x………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22 ? a?1?2? a?1?22??2?3?22………………………………（4分）
? b2?a2?c2?2?22? 椭圆方程为： x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2
? a??2?1? a?2?3?22? b?2?c?2?a?2?22?2? 双曲线方程为： x23?22?y222?2?1………………………………（6分）
（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H
?x?3y1?,?………………………………………………（7分） 令A?x1,y1?, ? C?122??? DC?112AP??x1?3??y1222
x1?31 CH??a??x1?2a??322? DH?DC?CH?21?12?x1?3??y12???x?2a?3?????4?14? ??a-2?x1?a2?3a2222当a?2时,DH??4?6?2为定值;? DE?2DH?22为定值此时l?的方程为： x?2…………（12分）
2．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点Anan,an?1在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点
??Bn?n,bn?在过点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上.
（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；
??an, ?n为奇数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出k??bn, ?n为偶数?值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an?1?1??1?1?1??????b1??b2??1?1????bn??ann?2?an?0成立，求正数a的取值范围.
解：（Ⅰ）将点Anan,an?1代入y2?x?1中得
??an?1?an?1 ? an?1?an?d?1? an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1, ? bn?2n?1??n?5, ?n为奇数?（Ⅱ）f?n???………………………………（5分）
??2n?1, ?n为偶数?…………………………………………（4分）
当k为偶数时，k?27为奇数， 当k为奇数时，k?27为偶数， f?k?27??4f?k?……………………（8分）
? k?27?5?4?2k?1?, ? k?4? 2?k?27??1?4?k?5?, ? k?综上，存在唯一的k?4符合条件。（Ⅲ）由
35?舍去?2an?1?1??1?1?1??????b1??b2??1?1????bn??ann?2?an?0
即a??1??1???bn??11??1??1?记f?n??1?1?1???????2n?3?b1??b2??bn??1??1??1???1??2n?3?b1??b2?1?1??1?1?1?????2n?5?b1??b2?1?1??1?1?1??????bn??bn?1?? f?n?1??? ?f?n?1?f?n??2n?3?1?2n?32n?42n?4??1?????2n?5?bn?1?2n?52n?32n?5?2n?3 ?14n2?16n?15? f?n?1??f?n?, 即f?n?递增，? f?n?min?f?1??? 0?a?4515………………………………（14分）
3.（本小题满分12分）将圆O: x2?y2?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E.
求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.
解: (1)设点P(x?, y?), 点M的坐标为(x, y),由题意可知?4n2?16n?161445?,3155??x??x,………………(2分)
??y?2y,x2?y2?1. 又x??y??4,∴x?4y?4?42222x2?y2?1.………………(4分) 所以, 点M的轨迹C的方程为4(2)设点A(x1, y1), B(x2, y2), 点N的坐标为(x0, y0), ㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)
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