《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座 第二讲 函数概念与表示
一．课标要求
1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；
5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 二．命题走向
函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。
从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。
高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。 预测2008年高考对本节的考察是： 1．题型是1个选择和一个填空；
2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。
三．要点精讲 1．函数的概念： ABfA中的任意一、，使对于集合是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系设xBfxfABA到中都有唯一确定的数：(为从集合)个数和它对应，那么就称，在集合→ByfxxAxxA叫做函，叫做自变量，集合∈的一个函数。记作：的取值范围=(。其中，)xyfxxA }∈(叫做函数数的定义域；与的值相对应的)| 值叫做函数值，函数值的集合{的值域。 yfxyx)”=g(=；()”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ （注意：1）“yfxfxxfx。乘 )
表示与对应的函数值，一个数，而不是中的“）（2函数符号=()”(2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： x的取值范围（如：分式函数的分母不①自然型：指函数的解析式有意义的自变量
为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； x的限制，这是函数学习中重点，往往也②限制型：指命题的条件或人为对自变量是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； x的实际意义。 ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量（2）求函数
的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 ①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。 3．两个函数的相等： ACf。当函数的定义域及从、值域函数的定义含有三个要素，即定义域和对应法则定义域到值域
的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 4．区间
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示。 5．映射的概念 ABf，使对于集合一般地，设是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则、AxByf：，在集
合与之对应，那么就称对应中的任意一个元素中都有唯一确定的元素??BABBAAf”为从集合到集合。的一个映射。记作“ ：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。 ABBA的映射是截然不同的．其中1）这两个集合有先后顺序，的射与到到注意：（f表示具体的
对应法则，可以用汉字叙述。 （2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 6．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 8．复合函数 yfxxabyfx称为中u称为复合函数，)][g(=，那么(m,n)?u，)，(?),u=g(，(u)=若．
x)的值域。 间变量，它的取值范围是g(四．典例解析
题型1：函数概念
(x?100)x?3?,求ff(x)?(89). 1．（）设函数例1?f[f(x?5)](x?100)??x?,x?(2??,1]1fxfx）=（（，
则满足）＝的（2）（2001上海理，1）设函数?
4log,x?(1,??)?81x值为 。
解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
f(89)?f(f(94))?f(f(f(99)))?f(f(f(f(104))))?f(f(f(101)))
f(f(98))?f(f(f(103)))?f(f(100))?f(97)?f(f(102))?f(99) =f(f(104))?f(101)?98. =1]x，＋∞］，，值域应为［（2）当 ∈（－∞，1 2x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞）当， 1yy∈（0，＋∞）∴，＝ ， 4x∈（1，＋∞），∴此时 11 4xx＝3。＝ 81∴log＝， 4点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、
81
变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功。
x?1
?2，2e,x＜?)?f(x则(f(2)f的值为（ 2变式题：（2006山东 文）设） ?2ol.2x?)g(x1?，??3ABC．2
D． 1 ．3 ．0 C。解：选项为
例2．（2006安徽 文理15）
1???????2x?f??1fx5,fx则1（）函数，若对于任意实数满足条件
__ ________
??xf
?????5ff ；
1???????x?2f5,f?x1f?x则（2）函数对于任意实数，若满足条件
__________11
??xf
?????f5f 。
?????x?f()?2f?4xf?x得，）由 解：（1
????2?xxff11???????(?1)?f(f?f5)5?f5??(5)?f(1)f 。所以，则
5?f(?12)11?????f2x??4x??f(x)f5f?f(1)?(5)?，所以（2）由，得
????2xxf?f11??????f(f?f1)5?(?f?5)? 则。
（2）（（=）=?
22
5?2)(f?1点评：通过对抽象函数
的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思 维能力。 题型二：判断两个函数是否相同 3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？例332xxxxgf ））=（（；，（1）=10,?x?||xxxgf ，）（=；∈N（，）（））=（3）（2xx?1?xxxgxf =（=） ;0?1x?x?1?2n1?2n1n?2xxnfxxg ）（4）（；），txxgttfx －1，（1）=（5）。（=）－－22－332xxxgxxfx，故它们的值域及对应法则都不相（1解：（）由于）（|），===|= 同，所以它们不是同一函数；1?0,x?||xxxfg=∞），而）（0的
n*－21
定义域为（－∞，）2（）由于函数（=）∪（0，+?
* ;0?1x?x? ，所以它们不是同一函数；的定义域为Rnn ±1）由于当∈N时，2为奇数，（31n?21n?22n?1xxxxxfxg，它们的定义域、值域及对
n－12
应法则都相=）（=）（，==）（∴．
同，所以它们是同一函数；2xfxxgxxx?1xx?的定义的定义域为{（（4）由于函数|（=）≥=0}，而）xxx ；0}≤－1或域为{，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数|≥ ）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。（5xgxyyf，当且仅当它们的定义域、值域、对应法）和（点评：对于两个函数==）（xgxyyf若两个函数表示同一函数，则它们的）和则都相同时，（==（）才表示同一函数 图象完全相同，反之亦然。要）小题易错判断成它们是不同的函数，
原因是对函数的概念理解不透）第（5（1 f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他知道，在函数的定义域及对应法则utfxxftf=，，+1（（）=字母的表达式，这对于函数本身并无
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影响，比如（））=+1+1u）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素（2+1）+1（都可
2
视为同一函数。 不相同，则这两个函数就不可能是同一函数。 题型三：函数定义域问题 4．求下述函数的定义域：例2x?2x0)2x(3?f(x)??；） （1
lg(2x?1)22).x?a?ka)?lg(xf(x)?lg( ）2（2??0x?x2?2x?1?0313?(,1)?(1,)?(,2]?.
1）解：（，解得函数定义域为?
（2a进行分类讨论， 2222x?1?1??3?2x?0?x?ka??）
然后对k进行分类讨论）， ，（先对?22x?a?(0,??))R(k?a； =0时，函数定义域为①当x?ka?0?a，②当 时，得?x??a或
x?a?a?0?(ka,??)， ）当时，函数定义域为1?k?1?a?0?(a,??)，）当2 时，函数定义域为?1?k?1??
0?a?)??a,a)?((ka,? ；）当时，函数定义域为3?1??k?kax??0a? 时，得③当，?a???a或xx?0a??),??(ka 1）当时，函数定义域为，?1??k?0a??),??(?a 时，函数定义域为2）当，?1?1?k??0?a?)???a,,a)?((ka 时，函数定义域为。3）当?1?k?）小题的解析式中含2点评：在
这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（ 有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力。
??xf ，求下列函数的定义域：，2)定义域为例5．已知函数
)xlog(2?12
2x 得）
(021?)f(x223?)f(x?y 。；(1) (2)由0＜ ＜2，解：（1
xgxfffx关键的定义域求函数的定义域点评：本例不给出[(即由)的解析式，)](() 在于理解复
合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或 实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。31x?3axf ）的取值范围是（R的定义域是，变式题：已知函数（则实数）= ＜0 D≤
23??axax11aCBAaaa ． ＜ ＜ ．＞．－12≤0 ．－12
33．
a?0,?aaB。，答案＜ ≤解：由0=0或可得－12?2Δ?a?4a?(?3)?0,?题型四：函数值域问题 例5．求下列函数的值域：
3x?1）（1）（2 ）；（3； 222x??3x?y?y5xx??6y??； x?2
x1?4?y?xy?|x?1|?|x?4|x?x?1y?； （；（56（4）））；2211?x2x??xx?221?sinxy?y?)?(xy?。）） （；（7）9；（8 22x?12x?x?12?cosx1232322???)2?3(y?3xx?x?解：， （1）（配方法） 12612
2
的 2322y?3x??x)??[, ∴。
值域为
，改题：求函数22?x?xy?3[1,3]?x 解：（利用函数的单 1222x??3x?y[1,3]x? 的值域。
调性）函数上单调增，在2631x?x?4 ；当时，原函数有最大值为∴当时，原函数有最小值为。
2
2x?y?3x?[4,26]?[1,3]x 。，∴函数的值域为 2）求复合函数的值域：（
， 2???56x???x??y0?。
则原函数可化为设） （22?4??4?(x?3)6??x?x?5? ，又∵ ???[0,2]4?0?， ∴，故
（法一）反函数法： 2[0,2]5x??6y??x。 的值域为∴（3）
3x?12x?1{x?R|x?3}，，其定义域为的反函数为 ?y?y值域为∴原函数
3x?2x?3x?1?y{y?R|y?3}。的
x?23x?13(x?2)?77， （法二）分离变量法：?y???3
2?x2?x2?x
77，∴，∵ 0?33??
2
2?xx?23x?1?y{y?R|y?3}。的值域为 ∴函数 x?2
t?1?x?0x?1?t，：设，则（4）换元法（代数换元法）
0)t?t?2)?5(?y?1?t4t??(5y? ，∴原函数可化为，∴,5](?? 。∴原函数值域为
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dcx??ax?b?y 注：总结型值域，
（5）三角换元法：
2
222dcx?ax?b?y?d?b?y?axcx? 变形：或
???1??x1?x?0??1],[0,?x?cos ∵，，∴设? ???)??cos2?sinsin(?y 则
4
????25?????)?[,1]?sin(][,??][0,?，∴，∴ ∵， 42444?
?)?[2sin(??1,2]，∴ 4
2
[?1,2]。∴原函数的值域为 ?
?2x?3(x??4)??， （6）数形结合法：y?|x?1|?|x?x(?4??1)4|?5??2x?3(x?1)?[5,??)5y?。，∴函数值域为∴
0??1x?xR （7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为。2?x?2x22y?(y?2)x?(y?1)x?y?2?0 由
①得： 2x?x?1y?2?0y?23x?0?0x?0?R ，∴时，①即即①当．
2
0??2?1)x?yx(y?2)?(y2y?2y??0Rx?恒有实时方程即②当时，∵ 根，220??(y?2)?(y?1)?4 ，∴
高三数学第一轮复习第02讲 函数概念与表示教案
