单元质量测试(三)
时间：120分钟
满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) π??A．y＝sin?2x＋? 2??C．y＝sin2x＋cos2x 答案 B
π?π???解析 y＝sin?2x＋?＝cos2x是偶函数，故A不符合题意；y＝cos?2x＋?＝－sin2x2?2???π??是周期T＝π的奇函数，故B符合题意；y＝sin2x＋cos2x＝2sin?2x＋?不是奇函数，故C
4??
π??B．y＝cos?2x＋? 2??D．y＝sinx＋cosx
?π?不符合题意；y＝sinx＋cosx＝2sin?x＋?不是奇函数，故D不符合题意．
4??
2．(2024·南宁联考)若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝( ) 4
A．－ 33C．－ 4答案 D
2tanα4
解析 解法一：由题意知，tanα＝－2，tan2α＝＝.故选D. 21－tanα3
sin2α2sinαcosα4
解法二：由题意知，sinα＝－2cosα，tan2α＝＝2＝.故选D. 2
cos2αcosα－sinα3→→→
3．已知向量AB＝(1，1)，AC＝(2，3)，则下列向量与BC垂直的是( ) A．a＝(3，6) C．c＝(6，8) 答案 D
→→→
解析 BC＝AC－AB＝(1，2)，因为(1，2)·(－6，3)＝1×(－6)＋2×3＝0.故选D. 4．(2024·长春质量监测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acosC1
＋c，则角A为( ) 2
A．60° C．45°
B．120° D．135° B．b＝(8，－6) D．d＝(－6，3) 3B． 44D． 3
答案 A
1
解析 由b＝acosC＋ccosA可知cosA＝，又A∈(0，π)，所以A＝60°.故选A.
25．(2024·四川省乐山市高三第一次调研)如图所示，AD是三角形ABC的中线，O是AD→→→
的中点，若CO＝λAB＋μAC，其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为( )
1A．－
21C．－
4答案 A
1→1→3→1→1→→1?1→→?1→→
解析 由题意知，CO＝(CD＋CA)＝?CB＋CA?＝(AB－AC)＋CA＝AB－AC，∴λ＝，
22?22444?4
1
B． 21D． 4
μ＝－，∴λ＋μ＝－.故选A.
2π
6．已知非零向量a与b的夹角为，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，则|a|＝( )
3A．1 C．3 答案 B
2π22
解析 解法一：∵|a＋2b|＝2，∴|a|＋4a·b＋4|b|＝4，又a与b的夹角为，|b|
3＝1，∴|a|－2|a|＋4＝4，∴|a|－2|a|＝0，又a≠0，∴|a|＝2，故选B.
2π3??1
解法二：如图1，设a＝(m，0)(m>0)，∵a与b的夹角为，|b|＝1，∴b＝?－，?，
3?22?∴a＋2b＝(m－1，3)．
∵|a＋2b|＝2，∴(m－1)＋3＝4.∵m>0，∴m＝2， ∴|a|＝2，故选B.
2
2
2
3
412
B．2 D．23
2π
解法三：在如图2所示的平行四边形中，∵|b|＝1，∴|2b|＝2，又a与b的夹角为，3|a＋2b|＝2，∴此平行四边形是菱形，∴|a|＝2，故选B.
α?π?7．已知5sin2α＝6cosα，α∈?0，?，则tan＝( )
2?2?
2
A．－ 33C． 5答案 B
4α?π?∴sinα＝3，解析 由题意知10sinαcosα＝6cosα，又α∈?0，?，cosα＝，tan2?552?4
1－
22511－cosα＝＝＝＝＝. αααsinα33cos2sincos2225sin
2sin
2
1
B． 32D． 3
αα8．(2024·南阳一中二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，
b＝2，sinB＋cosB＝2，则A的大小为( )
A.
π2π或 33
π
B．
65πD． 6
π5πC．或
66答案 B
πππ?π?解析 ∵sinB＋cosB＝2sin?B＋?＝2，0 4?424?π 2sin 41abπ ＝，得sinA＝＝.∵a π??9．(2024·曲靖一中质量监测)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ| 2??π 邻两条对称轴的距离为2π，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y3轴对称，则函数y＝f(x)的图象( ) 2π A．关于直线x＝对称 3C．关于点?答案 D 2π B．关于直线x＝－对称 3 ?2π，0?对称 ? ?3??2π?D．关于点?－，0?对称 ?3? π??解析 因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ| 2π，所以T＝4π，所以ω＝＝，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，得到的图T23象关于y轴对称，所以 ππππ ＋φ＝＋kπ(k∈Z)，由于|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝6223 ?1π??2π?sin?x＋?，所以函数的图象关于点?－，0?对称．故选D. 3??2?3? 10．(2024·大兴区第一学期期末)已知i，j，k为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i＋k)·(j＋k)的取值范围是( ) A．[－3，3] C．[2－1，2＋1] 答案 D 解析 由i⊥j得i·j＝0，又i，j为单位向量，则|i＋j|＝i＋j＋2i·j＝2，则(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cos〈i＋j，k〉＋1＝2cos〈i＋j，k〉＋1，由－1≤cos〈i＋j，k〉≤1，得(i＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－2，1＋2]．故选D. sinAa11．(2024·呼和浩特二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，sinBc(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 C．等边三角形 答案 C sinAaaa222 解析 ∵＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b＋c－a＝bc， sinBcbcB．等腰非等边三角形 D．钝角三角形 2 2 2 B．[－2，2] D．[1－2，1＋2] b2＋c2－a2bc1π ∴cosA＝＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．故选C. 2bc2bc23 π??12．(2024·丹东质量监测)已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)?ω>0，0<φ 2??31 称中心的距离为，且f(1)＝－3，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝(－5 2x－2的图象所有交点的横坐标之和为( ) A．16 C．8 答案 D B．4 D．12 ππ 解析 由已知得f(x)＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为3，即＝3，∴ω＝，则f(x) ω3 ?π?＝tan?x＋φ?， ?3? ?π?又f(1)＝－3，即tan?＋φ?＝－3， ?3? ∴ π2π ＋φ＝＋kπ(k∈Z)． 33 ππ?ππ?∵0<φ<，∴φ＝.∴f(x)＝tan?x＋?. 3?23?3∵f(2)＝tan? ?2π＋π?＝0，∴y＝f(x)的图象关于(2，0)中心对称，作出两个函数的图 ?3??3 象(如图所示)，可知两函数的图象共有6个交点，且都关于(2，0)成中心对称，则这六根之和为12.故选D. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2024·娄底二模)已知平面向量a与b的夹角为45°，a＝(－1，1)，|b|＝1，则|a－2b|＝________. 答案 2 2 2 解析 由题意知，|a－2b|＝a－4a·b＋4b＝2. 14．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛的距离是________ n mile. 答案 56 解析 如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得 sinC＝ ABBCsinA，所以BC＝ AB·sinA10×sin60° ＝＝56. sinCsin45° 15．(2024·郴州市高三第一次质检)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直
2024届高考数学一轮复习单元质量测试3(含解析)新人教版B版
