2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高二年级）
一、填空题（本题满分90分，每小题9分。直接将答案写在横线上。）
*
1. 已知正整数数列{an}满足an?2?an?1?an，n?N．若a11?157，则a1= 3 .
2. 函数y?sin2x?sinxcosx?2cos2x的值域为
2110110[??,??]2222.
3. 在△ABC中，A?30?，2AB?AC?3BC，则△ABC的最大角的余弦值为4．在直角坐标平面内，曲线|x?1|?|x?1|?|y|?3围成的图形的面积是 5 .
?12．
5．若3?a?a?1?1恒成立，则a的取值范围是2*
[?1,1?31)8.
6. 去掉集合A?{n|n?10000,n?N}中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为 2068 .
7． 在四面体ABCD中，AB?AC?3，BD?BC?4，BD?面ABC，则四面体ABCD的外接球的半径为
80510.
8. 三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为
25.
9. 若a?A且a?1?A,a?1?A，则称a为集合A的孤立元素.那么，集合M?{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.
10. 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则
11?的最大值为e1e252.
二、解答题（本题满分60分，每小题20分。）
11. 当|x|?1时，不等式2px?qx?p?1?0恒成立，试求p?q的最大值． 解法1 令f(x)?2px?qx?p?1,x?[?1,1]. （1）先考虑p?0时的情况，
22①若?1??qq?1，即?4p?q?4p，则由题意知f(?)?0，即 4p4p2p?(?q2q1)?q?(?)?p?1?0，整理得q2?8(p?)2?2. 4p4p21rsin?11??sin??cos?)?. ，其中0?r?2，则p?q?r(??[0,2?]，222222设q?rcos?，p?设??(0,?2)，且tan??22，则 3?(sin?cos??cos?sin?)?13131?r??sin(???)???2?1??2， 2222222p?q?r?22等号成立的条件是：r?221242，sin??，cos??，即p?，q?. …………………10分
3333②若?q??1，即q?4p，则由f(?1)?p?q?1?0得q?p?1，所以4p?q?p?1，从而可4p得p?
15，此时p?q?2p?1??2； 33q?1，即q??4p，则p?q??3p?0?2； …………………15分 4p③若?（2）当p?0时，由f(?1)?2p?q?p?1?p?q?1?0得q?p?1，故p?q?2p?1?2. 综合可知：p?q的最大值为2． …………………20分 解法二 特殊值法.
1，得p?q?2． …………………10分 22442414122当且仅当p?,q?时，2px?qx?p?1?x?x??(x?)?0．
3333332所以，p?q的最大值为2． …………………20分
在不等式2px?qx?p?1?0中取特殊值x??2
y2??上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线交12. 设A,B是双曲线x?22双曲线于C,D两点．
（1）确定?的取值范围；
（2）试判断A,B,C,D四点是否共圆？并说明理由．
解 （1）依题意，可设直线AB的方程为y?k(x?1)?2，代入双曲线方程并整理得
(2?k2)x2?2k(k?2)x?[(k?2)2?2?]?0 ①
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2是方程①的两个不同实根，于是可知
??4k2(k?2)2?4(2?k2)[(k?2)2?2?]?0 ②
且x1?x2?2k(2?k)2?k2．
又N(1,2)是线段AB的中点，故即y?x?1．
k(2?k)?1，解得k?1，故直线AB的方程为y?1?(x?1)?2，
2?k2将k?1代入②，得4?4(1?2?)?0，解得???1．
又CD是线段AB的垂直平分线，故CD所在直线的方程是y?2??(x?1)，即y??x?3，将其代入双曲线方程，整理得
x2?6x?2??9?0 ③
2由题意，方程③也有两个不同实根，所以?1?6?4(?2??9)?0，解得???9．
又??0，于是可得：?的取值范围为(?1,0)(0,??)． …………………10分
（2）设C(x3,y3),D(x4,y4)，线段CD的中点为M(x0,y0)，则x3,x4是方程③的两根，所以
x3?x4??6，x3x4??2??9，于是x0?于是，由弦长公式可得
x3?x4??3，y0??x0?3?6． 2|CD|?1?(?1)2|x3?x4|?2?(x3?x4)2?4x3x4?2?62?4(?2??9)?49??.
22又方程①即x?2x?2??1?0，同理可得|AB|?1?1?(x1?x2)?4x1x2?41??.
2显然|AB|?|CD|，又CD是线段AB的垂直平分线，假设存在??(?1,0)点共圆，则CD必为该圆的直径，点M为圆心．
又点M到直线AB的距离为d?(0,??)使得A,B,C,D四
|x0?y0?1||?3?6?1|??42，由勾股定理得 22|MA|2?|MB|2?d2?(又 (|AB|2)?(42)2?(21??)2?36?4?． 2|CD|2)?(29??)2?36?4?，所以|MA|2?|MB|2?|MC|2?|MD|2． 2(0,??)时，A,B,C,D四点均在以M(?3,6)为圆心、29??为半径的圆上．
故当??(?1,0) …………………20分
13. 在单调递增数列{an}中，a1?2，a2?4，且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，n?1,2,3,?．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{14n*}的前n项和为Sn，证明：Sn?，n?N． an3(n?3)*解 （1）因为数列?an?为单调递增数列，a1?2?0，所以an?0（n?N）. 2由题意得2a2n?a2n?1?a2n，a2n?1?a2na2n?2，于是2a2n??1a2n?2a2n?a2na2n?2，化简得
2a2n?a2n?2?a2n?22a3，所以数列{a2n}为等差数列.又a3?2a2?a1?6，a4??9，所以数列
a2{a2n}的首项为a2?2，公差为d?a4?a2?1，所以a2n?n?1，从而a2n?(n?1)2.
2结合a2n?1?a2n?2a2n可得a2n?1?n(n?1).
因此，当n为偶数时an?1(n?1)(n?3). (n?2)2，当n为奇数时an?44所以数列{an}的通项公式为
1(n?1)(n?3)1(n?2)2127?(?1)nn?1nan?[1?(?1)]??[1?(?1)]??n?n?.
242448…………………10分
127?(?1)n12(n?2)21?n?n?1??(n?2)(n?3)，所以 （2）因为an?n?n?484441411??4(?)， an(n?2)(n?3)n?2n?3Sn?11111111??????4[(?)?(?)?a1a2a3an3445?(1111?)?(?)] n?1n?2n?2n?3114n?4(?)?，
3n?33(n?3)所以Sn?4n*，n?N． …………………20分
3(n?3)
2014年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及参考答案（高二）
