2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高二年级)
一、填空题(本题满分90分,每小题9分。直接将答案写在横线上。)
*
1. 已知正整数数列{an}满足an?2?an?1?an,n?N.若a11?157,则a1= 3 .
2. 函数y?sin2x?sinxcosx?2cos2x的值域为
2110110[??,??]2222.
3. 在△ABC中,A?30?,2AB?AC?3BC,则△ABC的最大角的余弦值为4.在直角坐标平面内,曲线|x?1|?|x?1|?|y|?3围成的图形的面积是 5 .
?12.
5.若3?a?a?1?1恒成立,则a的取值范围是2*
[?1,1?31)8.
6. 去掉集合A?{n|n?10000,n?N}中所有的完全平方数和完全立方数后,将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列,这个数列的第2014项为 2068 .
7. 在四面体ABCD中,AB?AC?3,BD?BC?4,BD?面ABC,则四面体ABCD的外接球的半径为
80510.
8. 三对夫妻排成一排照相,仅有一对夫妻相邻的概率为
25.
9. 若a?A且a?1?A,a?1?A,则称a为集合A的孤立元素.那么,集合M?{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.
10. 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍,则
11?的最大值为e1e252.
二、解答题(本题满分60分,每小题20分。)
11. 当|x|?1时,不等式2px?qx?p?1?0恒成立,试求p?q的最大值. 解法1 令f(x)?2px?qx?p?1,x?[?1,1]. (1)先考虑p?0时的情况,
22①若?1??qq?1,即?4p?q?4p,则由题意知f(?)?0,即 4p4p2p?(?q2q1)?q?(?)?p?1?0,整理得q2?8(p?)2?2. 4p4p21rsin?11??sin??cos?)?. ,其中0?r?2,则p?q?r(??[0,2?],222222设q?rcos?,p?设??(0,?2),且tan??22,则 3?(sin?cos??cos?sin?)?13131?r??sin(???)???2?1??2, 2222222p?q?r?22等号成立的条件是:r?221242,sin??,cos??,即p?,q?. …………………10分
3333②若?q??1,即q?4p,则由f(?1)?p?q?1?0得q?p?1,所以4p?q?p?1,从而可4p得p?
15,此时p?q?2p?1??2; 33q?1,即q??4p,则p?q??3p?0?2; …………………15分 4p③若?(2)当p?0时,由f(?1)?2p?q?p?1?p?q?1?0得q?p?1,故p?q?2p?1?2. 综合可知:p?q的最大值为2. …………………20分 解法二 特殊值法.
1,得p?q?2. …………………10分 22442414122当且仅当p?,q?时,2px?qx?p?1?x?x??(x?)?0.
3333332所以,p?q的最大值为2. …………………20分
在不等式2px?qx?p?1?0中取特殊值x??2
y2??上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线交12. 设A,B是双曲线x?22双曲线于C,D两点.
(1)确定?的取值范围;
(2)试判断A,B,C,D四点是否共圆?并说明理由.
解 (1)依题意,可设直线AB的方程为y?k(x?1)?2,代入双曲线方程并整理得
(2?k2)x2?2k(k?2)x?[(k?2)2?2?]?0 ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同实根,于是可知
??4k2(k?2)2?4(2?k2)[(k?2)2?2?]?0 ②
且x1?x2?2k(2?k)2?k2.
又N(1,2)是线段AB的中点,故即y?x?1.
k(2?k)?1,解得k?1,故直线AB的方程为y?1?(x?1)?2,
2?k2将k?1代入②,得4?4(1?2?)?0,解得???1.
又CD是线段AB的垂直平分线,故CD所在直线的方程是y?2??(x?1),即y??x?3,将其代入双曲线方程,整理得
x2?6x?2??9?0 ③
2由题意,方程③也有两个不同实根,所以?1?6?4(?2??9)?0,解得???9.
又??0,于是可得:?的取值范围为(?1,0)(0,??). …………………10分
(2)设C(x3,y3),D(x4,y4),线段CD的中点为M(x0,y0),则x3,x4是方程③的两根,所以
x3?x4??6,x3x4??2??9,于是x0?于是,由弦长公式可得
x3?x4??3,y0??x0?3?6. 2|CD|?1?(?1)2|x3?x4|?2?(x3?x4)2?4x3x4?2?62?4(?2??9)?49??.
22又方程①即x?2x?2??1?0,同理可得|AB|?1?1?(x1?x2)?4x1x2?41??.
2显然|AB|?|CD|,又CD是线段AB的垂直平分线,假设存在??(?1,0)点共圆,则CD必为该圆的直径,点M为圆心.
又点M到直线AB的距离为d?(0,??)使得A,B,C,D四
|x0?y0?1||?3?6?1|??42,由勾股定理得 22|MA|2?|MB|2?d2?(又 (|AB|2)?(42)2?(21??)2?36?4?. 2|CD|2)?(29??)2?36?4?,所以|MA|2?|MB|2?|MC|2?|MD|2. 2(0,??)时,A,B,C,D四点均在以M(?3,6)为圆心、29??为半径的圆上.
故当??(?1,0) …………………20分
13. 在单调递增数列{an}中,a1?2,a2?4,且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列,a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列,n?1,2,3,?.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{14n*}的前n项和为Sn,证明:Sn?,n?N. an3(n?3)*解 (1)因为数列?an?为单调递增数列,a1?2?0,所以an?0(n?N). 2由题意得2a2n?a2n?1?a2n,a2n?1?a2na2n?2,于是2a2n??1a2n?2a2n?a2na2n?2,化简得
2a2n?a2n?2?a2n?22a3,所以数列{a2n}为等差数列.又a3?2a2?a1?6,a4??9,所以数列
a2{a2n}的首项为a2?2,公差为d?a4?a2?1,所以a2n?n?1,从而a2n?(n?1)2.
2结合a2n?1?a2n?2a2n可得a2n?1?n(n?1).
因此,当n为偶数时an?1(n?1)(n?3). (n?2)2,当n为奇数时an?44所以数列{an}的通项公式为
1(n?1)(n?3)1(n?2)2127?(?1)nn?1nan?[1?(?1)]??[1?(?1)]??n?n?.
242448…………………10分
127?(?1)n12(n?2)21?n?n?1??(n?2)(n?3),所以 (2)因为an?n?n?484441411??4(?), an(n?2)(n?3)n?2n?3Sn?11111111??????4[(?)?(?)?a1a2a3an3445?(1111?)?(?)] n?1n?2n?2n?3114n?4(?)?,
3n?33(n?3)所以Sn?4n*,n?N. …………………20分
3(n?3)
2014年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及参考答案(高二)
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