2009年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准
说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设7分的0分两档；其它各题的评阅，请严
格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分
标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其它中间档次。
一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）
1x?99??1、若函数f?x??且f(n)?x??f?，则． ffLfx??f1??????42444???21014431?xn解：
f f(1)(x)?f(x)?x1?x2，
，
(2)(x)?f[f(x)]?x1?99x2x1?2x.
2 ······ f故 f(99)(99)(x)?(1)?1. 10 2、已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x2?2y2?8x?8y?1?0，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在?ABC中，?BAC?45?，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 [3,6] ．
解：设A（a，9-a），则圆心M到直线AC的距离d=AMsin45?，由直线AC与圆M相交，得
d?解得 3?a?6.
?y≥0?3、在坐标平面上有两个区域M和N，M为?y≤x，N是随t变化的区域，它由不
?y≤2?x?34. 2等式t≤x≤t?1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f?t???t?t?21． 2 解：由题意知 f(t)?s阴影部分面积
=S?AOB?S?OCD?S?BEF =?t?t?
21 2
1111??L??a?2007对一切正整数n都成立的最小正整数an?1n?22n?13的值为 2009 ． 4、使不等式 解：设f(n)?111.显然f(n)单调递减.则由f(n)的最大值??...?n?1n?22n?11f(1)?a?2007，可得a?2009.
3x2y25、椭圆2?2?1?a?b?0?上任意两点P，Q，若OP?OQ，则乘积OP?OQ的最
ab2a2b2小值为2． 2a?b解：设
P(OPcos?,OPsin?)，
??Q(OQcos(??),OQsin(??)).
22由P、Q在椭圆上，有
cos2?sin2???2 （1） 22abOP1sin2?cos2??? （2） 222abOQ1（1）+（2）得
于是当
1OP2?1OQ2?11?2. 2ab2a2b2 OP?OQ?
a2?b22a2b2. 时，OPOQ达到最小值22a?b
6、若方程lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根，那么k的取值范围是k?0或k?4 ． 解：
?kx?0??x?1?0?kx?(x?1)2 ?当且仅当
kx?0 （1） x?1?0 （2） x?(2?k)x?1?0 （3） 对（3）由求根公式得
x1,x2?21[k?2?k2?4k] （4） 2
??k2?4k?0?k?0或k?4
(i)当k?0时，由（3）得
?x1?x2?k?2?0 ?xx?1?0?12所以x1x2同为负根。
又由（4）知，
?x1?1?0 ??x2?1?0所以原方程有一个解x1。
(ii)当k?4时，原方程有一个解x?k?1?1. 2(iii)当k?4时，由（3）得
?x1?x2?k?2?0 ?xx?1?0?12所以x1,x2同为正根，且x1?x2，不合题意，舍去。
综上可得k?0或k?4为所求。
7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 101?2 （可以用指数表示） 解：易知： (i)该数表共有100行；
98(ii)每一行构成一个等差数列，且公差依次为
d1?1,d2?2,d3?22,...,d99?298 (iii)a100为所求。
设第n(n?2)行的第一个数为an，则
an?an?1?(an?1?2n?2)?2an?1?2n?2
n?3n?2 ?2[2an?2?2]?2
2n?4n?2n?2 ?2[2an?3?2]?2?2?2
3n?2 ?2an?3?3?2
...... ?298故a100?101?2.
n?1a1?(n?1)?2n?2
n?2 ?(n?1)2
8、某车站每天8∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 8∶10 9∶10 8∶30 9∶30 8∶50 9∶50 111 623一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 27 （精确到分）． 解：旅客候车的分布列为
候车时间（分） 10 概率 候车时间的数学期望为
30 50 70 90 1 21 311? 6611? 2611? 361111110??30??50??70??90??27
23361218
二、解答题
x2y21、（14分）设直线l:y?kx?m（其中k，m为整数）与椭圆??1交于不同两点
161222xy?1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量A，B，与双曲线?412uuuruuurAC?BD?0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
x2y2解：（本小题满分14分）设直线l:y?kx?m（其中k,m为整数）与椭圆??1交
1612x2y2于不同两点A，B，与双曲线??1交于不同两点C，D，问是否存在直线L，使得向量
412uuuruuurAC?BD?0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由。
解：由
?y?kx?m?2 消去y化简整理得 ?xy2?1???1612(3?4k2)x2?8kmx?4m2?48?0
8km设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??.
3?4k2222 ?1?(8km)?4(3?4k)(4m?48)?0 （1）······4分
?y?kx?m?由?x2y2 消去y化简整理得
?1???412(3?k2)x2?2kmx?m2?12?0
2km设C(x3,y3),D(x4,y4)，则x3?x4?. 23?k?2?(?2km)2?4(3?k2)(m2?12)?0 （2）······8分
uuuruuur因为AC?BD?0，所以(x4?x2)?(x3?x1)?0，此时，(y4?y2)?(y3?y1)?0.由x1?x2?x3?x4，得
8km2km??. 3?4k23?k241?所以2km?0，或?.由上试解得k?0或m?0.当k?0时，由（1）223?4k3?k和（2）得?23?m?23.因m是整数，所以m的值为?3,?2,?1,0,1,2,3.当m?0时，
由（1）和（2）得?3?k?3.因k是整数，所以k??1,0,1.于满足条件的直线共有9条。···································14分
2、（15分）已知p，q?q?0?是实数，方程x2?px?q?0有两个实根?，?，数列?an?
4，L? 满足a1?p，a2?p2?q，an?pan?1?qan?2?n?3，(Ⅰ)求数列?an?的通项公式（用?，?表示）；
1，求?an?的前n项和． 4解法一：（I）由韦达定理知????q?0,又????p,所以 (Ⅱ)若p?1，q?an?pxn?1?qxn?2?(???)an?1???an?2,(n?3,4,5...)
整理得
an??an?1??(an?1??an?2).
令bn?an?1??an，则bn?1??bn(n?1,2,...).所以｛bn｝是公比为?的等比数列. 数列｛bn｝的首项为：
b1?a2??a1?p2?q??p?(???)2?????(???)??2.
2n?1??n?1,即an?1??an??n?1(n?1,2,...). 所以bn????n?1所以an?1??an??(n?1,2,...).
n?12①当??p?4q?0，????0,a1?p?????2?,an?1??an??(n?1,2,...) n?1变为an?1??an??(n?1,2,...).整理得，
anan?1an所以，数列｛｝??1,(n?1,2,...).nn?1naaa?2，所以
成公差为1的等差数列，其首项为
a1?n?2??an?于是数列｛an｝的通项公式为
?2?1(n?1)?n?1.
n an?(n?1)?·····················5分
②当??p?4q?0时，???，
n?1 an?1??an??
2???n?1? ???????an??n?1??n?1(n?1,2,...).
????????an?整理得，
?n?2?n?1an?1???(an?),(n?1,2,...).
???????n?1所以，数列?an??成公比为?的等比数列，其首项为
????2?2?2a1???????.所以
??????????n?1?2an???n?1.
??????于是数列｛an｝的通项公式为
?n?1??n?1 an?················10分
???
2009年全国高中数学联赛试题及答案
