三大统计复习
三大统计侧重于从一个粒子的角度出发来研究系统。 基于等几原理来研究系统处于平衡态时的统计规律。
三大统计都从等几原理?算出一种?al?分布下所对应的微观状态数?最可几分布al?引入配分函数?热力学量的统计表式?应用 一、 相空间
（1）相空间必定是偶数维的，因为是以广义坐标（q1,q2,?,qr）和广义动量（P1,P2,?,Pr）为轴。
（2）是正交空间：????q1?q2??qr?P1?P2??Pr
（3）半经典考虑： 考虑测不准关系：?X??P?h，则一个态的相体积为hr。（这是半经典考虑后一个态所所必须占据的最小相体积）
二、 状态数
在考虑半经典近似的情况下：1个态的相体积为hr，则可能的状态数为：
?? rh三、 求态密度D(?)
态密度指????d?范围内的状态数 四、 研究对象：孤立，近独立的粒子系统 M-B统计：经典粒子系统：粒子是可分辨的。
F-D、B-E统计：量子粒子系统：粒子是不可分辨的（全同性原理），要考虑自旋。
N??all,U??al?l???i，al是指一个能级上的粒子数。
li?1N???al?0?N?0??l因为是孤立系统：则有约束条件。 ????U?0????l?al?0?l因为是孤立系统，因而具有确定的粒子数N、体积V、总能U。 五、
等几原理：对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现
的几率相等
用al来标记能级?l上的粒子数，这样一组al称为一个粒子在不同能级上的分布，
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三大统计复习
简称分布。
?0?1?2??l????0??1??2???l???w0a0??al?一种分布
w1w2?wl??a1a2?al???每一个具体的分布则称为微观态。
?M?BN!wllal??wl?N!?
la!?al!llla?F?D??lwl!
al!(wl?al)!(wl?al?1)!(w?al)! ??llal!(wl?1)!al!wl!?B?E??l六、
最可几分布：使得系统微观态数目取极大值的分布?al? ，?ln??0，
考虑拉格朗日不定乘子法：
???al?0，???l?al?0
f?al1?????lwle????1????0??1?F?DM?B B?E当e???1（经典近似条件）时，e????l???e????l，fF?D,fB?E?fM?B
f?al ~ ?l能级一个量子态上的平均粒子数。 wlf ~ ?l能级一个量子态上粒子出现的几率。 N??七、 引入配分函数
e???NN， ????seZ?s配分函数：Z??e???sls，
巨配分函数：????l??[1?e?????l]?wl
l八、 热力学量的统计表示
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三大统计复习
?lnZ?U??N????N?lnZN?lnZ??P??Y??Y????y??VM-B统计：?已知Z则可求:???lnZ?S?Nk(lnZ??)????F?U?TS??NkTlnZ?
玻尔兹曼关系式S?kln? F-D、B-E统计： 总粒子数：N??al??l?ln? ???ln? ??系统的内能：U??al?l??l外界对系统的作用力：Y??al系统的熵：S?k[ln?????l1???ln? ?y??yP?1?ln???VP??Y
?ln??ln???] ????系统的巨热力学势：J?F??N?U?TS??N??kTln? 玻尔兹曼关系式S?kln?
九、 应用：（三部曲）求不同系统的相关热力学量
有时为简化计算，需要引入不同的模型或近似，如何引入模型与近似是与要解决的问题相关联的。一切为了所得出的结果与实验或前人的结果相一致，确保所得出的结果能够包容前人的结果。 1．三维理想气体：
V2?mkT2) 单原子分子理想气体：Z?3(2?mkT)2?V(2hhx??x?(q,p)d?
3333kTU?NkT 22
2．动量、速度、速率分布率
???(Px2?Py2?Pz2)1?()2e2mkTdPxdPydPz 动量P的分布函数N2?mkT??NP31 -3-
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3??Nvm2?2kT(vx2?vy2?vz2)速度和速率分布函数?()edvxdvydvz
N2?kTmf?dv??Nvm?()eN2?kT32?mv22kT4?v2dv
三种速率v,v2,vP
v?8kT ?mv2?3kT mvP?2kT m3．运动分解定理（由一种分布求另一种分布的好方法）
叙述：如果某个复合系统的几率分布可以分解成几个因子的乘积，每个因子又只与表征复合系统的一部分物理量有关，则这些部分是统计独立的，且每个因子的几率分布正比于相应部分的状态几率。 4．能量均分定理（P261）
对于一个处于在温度为T的热平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方
1项的平均值等于kT。
25．爱因斯坦的固体比热理论 能量量子化
6．弱简并玻色气体与费米气体
对弱简并条件e???1,e????1仍成立
U???ln? ??1?1?q?q2?? 1?qU??al?l??llwl?l ????le?17． 光子气体：玻色子，??0 ，非弱简并也不是强简并
??P??k,???w?CP 8．玻色?爱因斯坦凝聚 （强简并玻色子） 因为f是非负的，???0是Bose系统的特征，
N?N0(T)?N??N0(T)?g2?V(2m)3h3?20?e????12(?)?1d?
低维系统（n=2，1）不产生BEC。 9．金属的自由电子气体 （强简并费米子）
0?f?1，费米系统的特征
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?0当???时T?0K时,f??,?f是个阶梯函数
?1当???时h23N3?2?F?()?(3?2n)3
2m8?V2mU3??F N510． 自由电子比热
3???T?rT金属Cv??3
?非金属??T22
做题时针对一个系统一般要先分清能量表达式是经典形式还是极端相对论形
P2式（??CP??）；用何种分布函数；是否要用到弱简并、强简并来简化
2m计算。 十、
常用积分公式
?2(1) ?e?axdx?01? 2a? (2)
?ax2n?1exdx??021n! n?12a? (3)
?e0?ax2x2ndx?1?3??????(2n?1)?
2n?1a2n?1
?1(4)?(n)??e?xxn?1dx,?(n)?(n?1)?(n?1),?(1)?1,?()??
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热力学与统计物理复习知识点
