2024高考数学冲刺训练 学生特训
第2讲 立体几何(大题)
热点一 平行、垂直关系的证明
用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
例1 如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.运用向量方法证明：
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(1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD.
跟踪演练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝2，AD＝CD＝1，M是PB的中点.
(1)求证：AM∥平面PCD； (2)求证：平面ACM⊥平面PAB.
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热点二 利用空间向量求空间角
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同). (1)线线夹角
π0≤θ≤?， 设l，m的夹角为θ?2??|a1a2＋b1b2＋c1c2||a·b|
则cos θ＝＝2. 2222|a||b|a1＋b21＋c1 a2＋b2＋c2(2)线面夹角
π
0≤θ≤?， 设直线l与平面α的夹角为θ?2??则sin θ＝
|a·μ|
＝|cos〈a，μ〉|. |a||μ|
(3)二面角
设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)，
|μ·v|
＝|cos〈μ，v〉|. |μ||v|
则|cos θ|＝
例2 (2024·南昌模拟)如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点.
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跟踪演练2 (2024·河南名校联盟联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠PAB＝90°，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝6，CD＝2AB＝22，∠PAD＝120°.E和F分别是棱CD和PC的中点.
(1)求证：CD⊥BF；
(2)求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.
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热点三 利用空间向量解决探索性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.
例3 (2024·临沂模拟)如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE；
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？若存在，4
(2)线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
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2024高考终极训练试题 专题3 第2讲 立体几何(大题)
