2020高考数学冲刺训练 学生特训
第2讲 立体几何(大题)
热点一 平行、垂直关系的证明
用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.
例1 如图,在直三棱柱ADE-BCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直,点M为AB的中点,点O为DF的中点.运用向量方法证明:
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(1)OM∥平面BCF; (2)平面MDF⊥平面EFCD.
跟踪演练1 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,BC=2,AD=CD=1,M是PB的中点.
(1)求证:AM∥平面PCD; (2)求证:平面ACM⊥平面PAB.
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热点二 利用空间向量求空间角
设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α,β的法向量分别为μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同). (1)线线夹角
π0≤θ≤?, 设l,m的夹角为θ?2??|a1a2+b1b2+c1c2||a·b|
则cos θ==2. 2222|a||b|a1+b21+c1 a2+b2+c2(2)线面夹角
π
0≤θ≤?, 设直线l与平面α的夹角为θ?2??则sin θ=
|a·μ|
=|cos〈a,μ〉|. |a||μ|
(3)二面角
设α-a-β的平面角为θ(0≤θ≤π),
|μ·v|
=|cos〈μ,v〉|. |μ||v|
则|cos θ|=
例2 (2019·南昌模拟)如图,四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,CC1⊥底面ABCD,且∠BAD=60°,CD=CC1=2C1D1=4,E是棱BB1的中点.
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跟踪演练2 (2019·河南名校联盟联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠PAB=90°,AB∥CD,且PB=BC=BD=6,CD=2AB=22,∠PAD=120°.E和F分别是棱CD和PC的中点.
(1)求证:CD⊥BF;
(2)求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.
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热点三 利用空间向量解决探索性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类:一类是探究线面的位置关系;另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是:先建立空间直角坐标系,引入参数(有些是题中已给出),设出关键点的坐标,然后探究这样的点是否存在,或参数是否满足要求,从而作出判断.
例3 (2019·临沂模拟)如图,平面ABCD⊥平面ABE,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=1,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE;
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?若存在,4
(2)线段AD上是否存在一点M,使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
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