《数学分析》教案
第二十三章 流行上微积分学初阶
教学目的：1.理解和掌握向量函数、向量函数的极限、连续和一致连续等的概念，掌握有界闭区间上连续向量函数的性质；
2、理解向量函数的可微、隐向量函数和反向量函数的概念，掌握他们可微的条件，会求向量函数、隐向量函数、反向量函数及复合向量函数的导数。 3、用向量作为工具研究函数极值。.
4、掌握外积、基本微分形式、以及微分形式外微分的概念及运算，能用外积为工具来理解证明一些多重积分的变量替换公式。
教学重点难点：本章的重点是向量函数的极限、连续与微分；难点是复合向量函数、隐函数和反向量函数的求导讨论。 教学时数：14学时 §1 n
维欧氏空间与向量函数
一 n维欧氏空间
1. n维向量空间：所有n个有序数组（ 2. n维欧氏空间
：定义了内积的n维向量空间.
）的全体.
3.
中的距离
：
=
.
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1. n维球形邻域 半径为
：
=
表示以
为中心，
的n维球形邻域.
当3时，称它为中的一个超平面.
，则
为收敛点列的充要条件是：任给
都有
，存
2. 超平面：点集 定理23.1 设 在
，当
时，对一切正整数
（证明从略）.
二 向量函数
1. 向量函数：若 都有唯一的一个
，使
是 ，则称
的一个子集，对每一个 为
到
，
的向量函数（也简，其中，
称
称函数或称映射），记作为函数的定义域.
或简单地记作
2. 原象：在映射的意义下，
象集为 3. 一一映射：设
，则称
在 下的象为 称为
的原象. ，只要
在
下的
，若对任何 为
到
就有
的一一映射（或称为单射）.
三 向量函数的极限和连续
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1. 设
的任意小的邻域
是
的聚点， ，总有 ，则称在集合
作
： 的空心邻域 上当
时，
以 为极限，记
若存在
，对于
不致混淆的情况下，或 时，简称
时
以 为极限，并记作
2. 设 ，
：
在点
若对任何 （关于集合 为
， ）连续.
使得
则称
如果
在
上每一点都连续，则称
上的连续函数.
定理23.2 设
若
（6）（7）（8）定义的向量函数
定理23.3 函数 何点列
收敛于
： 时，
是有界闭集，
在点 在点
连续， 都在点
在点 连续.
连续，则按
连续的充要条件为：任
都收敛于
为
.
上的连续函数，
定理23.4 若 则
也是有界闭集.
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定理23.5 若 直径可达，即存在
是有界闭集，
，使得 .
为
上的连续函数，则
定理23.6 若 上一致连续.即任给
，就有
是有界闭集， ，存在只依赖于
为 的
上的连续函数，则 ，只要
在 且
.
定理23.7 若
也是道路连通集.
是道路连通集，
为
上的连续函数，则
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数学分析教案(流行上微积分学初阶).
