第二章 原子的能级和辐射
试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，
p??mvr?nh2?
vnhh??可得：频率 ??22?a12?ma12?ma12?6.58?1015赫兹
速度：v
?2?a1??h/ma1?2.188?106米/秒
?v2/r?v2/a1?9.046?1022米/秒2
加速度：w 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。
2解：电离能为Ei?E??E1，把氢原子的能级公式En??Rhc/n代入，得：
11Ei?RHhc(2?)?Rhc=电子伏特。
?1电离电势：Vi?Ei?13.60伏特 e1133第一激发能：Ei?RHhc(2?2)?Rhc??13.60?10.20电子伏特
4412第一激发电势：V1?E1?10.20伏特 e 用能量为电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线
解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：
11E?hcRH(2?2) 其中hcRH?13.6电子伏特
1n1E1?13.6?(1?2)?10.2电子伏特
21E2?13.6?(1?2)?12.1电子伏特
3E3?13.6?(1?1)?12.8电子伏特 42其中E1和E2小于电子伏特，E3大于电子伏特。可见，具有电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到n?4的能级上去，所以只能出现n?3的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：
1?11?RH(11?)?5RH/362223??1?6565A?21?RH(113?)?RH22412?
?2?1215A?3?RH(118?)?RH22913??3?1025A 试估算一次电离的氦离子He、二次电离的锂离子Li的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。
解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。 a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：
??4??0h2n2n2r??a1,n?1,2,3??Z4?2mZe24??0h2?10其中a1??0.529177?10米，是氢原子的玻尔第一轨道半径；224?me
??Z是核电荷数，对于H,Z?1；对于H,Z?2；对于Li，Z?3；rHeZHZ1rLi??1因此，玻尔第一轨道半径之比是??,?H?rHZH?2rHZLi??3e?b) 氢和类氢离子的能量公式：
2?2me4Z2Z2E???E1?2,n?1,2,3??
(4??0)2n2h2n2?2me4??13.6电子伏特，是氢原子的基态能量。其中E1?? 22(4??0)h电离能之比：
0?EHe0?EH?2ZHe?2?4,ZH0?ELi0?EH???2ZLi??
Z2H?9c) 第一激发能之比：
2222E12?E1221EHe?EHe21?4?212EH?EH112E12?E1221 2233E12?E1221ELi?ELi21?9?212EH?EH112E12?E1221d) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：
n1?1,2,3??112~{v?ZR(2?2)，n2?(n1?1),(n1?2)??
n1n22?2me4其中R?是里德伯常数。 23(4??0)h氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：
111H~v1?R(2?2)?H12?相应地，对类氢离子有：
~He??22R(1?1)?1v11222?1He?~Li???32R(1?1)?1v11222?1Li??因此，
He?Li???11?11?,H? H4?19?1
试问二次电离的锂离子Li从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子He的电子电离掉
解：Li由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：
?????He?的电离能量为：
vHe?4hcRHe(hvLi??hvHe?由于MHe?11?)?4hcRHe2?127RLi271?m/MHe???16RHe161?m/MLi
?MLi,所以1?m/MHe?1?m/MLi，
?hvHe?，所以能将He?的电子电离掉。
从而有hvLi?? 氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（H?）光谱线之间的波长差??有多大已知氢的里德伯常数
RH?1.0967758?107米?1，氘的里德伯常数RD?1.0970742?107米?1。
解：
1?H1?RH(11?)，?H?36/5RH 2223?D?RD(11?)，?D?36/5RD 2223????H??D??1.79A?3611(?)5RHRD
已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长?为多少A
解：
?11?Re?e?(2?2)?R??12111?mm?33?R 48?81???米?2430A
3R?3?10973731 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n轨道，发射光子的频率?n。当n>>1时光子频率即为电子绕第n玻尔轨道转动的频率。
证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的波数为：
1~?1?R[1?v] n22?nn(n?1)频率为：vn?c??Rc[112n?1?]?Rc n2(n?1)2n2(n?1)22当n>>时，有(2n?1)/n(n?1)2?2n/n4?2/n3，所以在n>>1时，氢原子中电
子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的频率为：vn设电子在第n轨道上的转动频率为fn，则
?2Rc/n3。
fn?vmvrP2Rc ??2232?r2?mr2?mrn因此，在n>>1时，有vn?fn
由上可见，当n>>1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道转动的频率。这说明，在n很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。
Li原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：
~?vRR????Li。已知锂原子电离成离子需要电子伏特的功。问22(1?0.5951)(n?0.0401)???如把Li离子电离成Li离子，需要多少电子伏特的功
解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以Li离子电离成Li???离子时，有
R?hcRhcRhcE1????5.35电子伏特 22?(1?0.5951)(1?0.5951)Li??是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此Li???Li???时，电离能E3为：
Z2Rhc2RE3??ZR?hc?122.4电子伏特。 21
原子物理学第二章习题答案
