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圆锥曲线的一个统一性质
性质: 已知点F, 直线 l分别是圆锥曲线的一个焦点及其对应的准线, AB是过焦点F
的一条弦,设|AF|=m, |BF|= n, 则
112?? . (其中e是离心率,P是焦点F到准线mnepl的距离).
2.性质的证明
如图,AB是经过焦点F的弦, l为与焦点F相对应的准线, 过F作准线l的垂线,垂足为K. 以FK所在的
直线为X轴.设 D 过A分别作AD?l AM?FX 垂足分别为D, M. K F θ M X B A 由圆锥曲线统一定义知: l |AF|?e |AD| 所以 |AD|?|AF| e又因为 |FK|=P , |AD|?|MK|?|FK|?|AF|?cos? |AF|?p?|AF|?cos? eepep则 |AF|? 同上容易证明: |BF|? 1?ecos?1?ecos?所以 所以 111?ecos?1?ecos?2???? |AF||BF|epepep112?? mnep 即: 该命题的证明还可以用解析几何的方法证明,为了体现圆锥曲线的统一性,利用统一定义,结合平面几何的知识, 给出以上证明. 3.性质的应用 x2y2??1,过其右焦点F作椭圆的弦AB, 设|AF|=m, |BF|= n, 则 题1: 已知椭圆4311??_______________. mn精心校对 高中数学-打印版 题2.已知AB是过抛物线y?4x焦点F的弦, 则 211??__________. |FA||FB| x2?y2?1的右焦点为F,过F作直线与双曲线的右支交于A 题3.已知双曲线,B 两点, 311??__________. |FA||FB|则 a2b21?c?解答:对于题1有: 离心率e=, 焦点F到准线l的距离p?, 即:p?3 cc2 由 112114??得: ?? mnepmn3112??得: |FA||FB|ep 对于题2有: 离心率e=1, 焦点F到准线l的距离p?2,由 11??1. |FA||FB| a2b21?c?对于题3有: 离心率e=, 焦点F到准线l的距离p?, 即:p?. cc23211211????23. 得: |FA||FB|ep|FA||FB|由 精心校对
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线的一个统一性质
