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专题04：选择题解题方法与技巧-高考理数二轮复习精品资料-
方法一 定义法
定义法，就是直接利用数学定义，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．
π
例1．平面直角坐标系中，点N(3，n)在角α终边上，点N(2n，4)在角α＋的终边上，则n＝
4A．－6或1 B．－1或6 C．6 D．1
m1＋
3πm422
α＋?＝＝，∴＝解析：由题意得，tAn α＝，tAn?，∴n＝－6或1. ?4?2mm3mm
1－
3
【变式】已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为 ( ) A．10 B．4 C．15 D．5
解析：抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5,选D
方法二 数形结合法
数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化；二是几何问题代数化．
例2、(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若―→―→―→
AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( ) A．3
B．22 C.5 D．2
( )
解析：选A 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝
242525?. ，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以P?1＋cos θ，2＋sin θ555??5
2
12＋22
―→―→―→―→―→
又AB＝(1,0)，AD＝(0,2)，AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)，
?1＋255cos θ＝λ，所以?
252＋?5sin θ＝2μ，
λ＋μ＝2＋5Cos θ＋5sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其
255
1
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π
中tAn φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
2
?sin πx，0≤x≤1，?
【变式】已知函数f(x)＝?若A，B，C互不相等，且f(A)＝f(B)＝f(C)，则A＋B＋C的取值
?logx，x>1.?2 018
范围是 ( )
A．(1,2 017) B．(1,2 018) C．(2,2 019) D．[2,2 019]
方法三 排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法．它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法． 例3、设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有( )
A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
解析：选项A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]；选项B，取x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]；选项C，取x＝y＝1.6，则[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x＋y]>[x]＋[y]．排除A，B，C，故选D.
―→
―→
―→
―→
【变式】已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令AB＝A，AC＝B，过点E的直线分别交AB，11
AC于P，Q两点，且AP＝nA，AQ＝nB，则＋＝
mnA．3
B．4 C．5
1D．
3
( )
解析：由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，但所求最后的结果是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．
2
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―→―→―→22211
如图，PQ∥BC，则AP＝AB，AQ＝AC，此时n＝n＝，故＋＝3.
333mn方法四 估值法
估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量． 例4、若A＝20.5，B＝logπ3，C＝log2sin
2π
，则( ) 5
―→
A．A>B>C B．B>A>C C．C>A>B D．B>C>A
解析：由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0<0.5<1，所以A＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质2
可知y＝logπx，y＝log2x均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以B＝logπ3∈(0,1)，因为sin π∈(0,1)，
5所以C＝log2sin
【变式】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是 ( ) 16A．π
9
864 B．π C．4π D．π
392π
<0. 综上，A>1>B>0>C，即A>B>C. 5
2316π
解析：球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝，则S球＝4πR2≥4πr2＝>5π，D选项符合，选D.
33
方法五 待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等 x2y2
例5、已知双曲线2－2＝1(A>0，B>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x
ab的准线上，则双曲线的方程为 x2y2
A.－＝1 2128
( )
x2y2x2y2x2y2
B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
28213443
bb
解析：由双曲线的渐近线y＝x过点(2，3)，可得3＝×2.①
aa
由双曲线的焦点(－a2＋b2，0)在抛物线y2＝47x的准线x＝－7上，可得
3
a2＋b2＝7.②
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x2y2
由①②解得A＝2，B＝3，所以双曲线的方程为－＝1. 选D
43
【变式】已知等差数列{An}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝ A．41 解析：设
方法六 换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． 2y
例6、已知正数x，y满足4y－＝1，则x＋2y的最小值为________．
x
B．48 C．49 D．56
??S3＝9A＋3B＝9，
( )
Sn＝An2＋Bn，由题知，?
?S5＝25A＋5B＝25，?
解得A＝1，B＝0，∴S7＝49. 选C
【变式】若函数f(x)＝1＋3x＋a·9x，其定义域为(－∞，1]，则A的取值范围是 ( )
?4?
A．?－9?
?
?
44
－，＋∞? C．?－∞，－? B．?9??9??4
－，0? D．??9?
?1?x?2＋?1?x＋A≥0的解集为(－∞，1]．令t＝?1?x，则t≥1， 解析：由1＋3x＋A·9x≥0的解集为(－∞，1]，即???3???3??3?3
1114
，＋∞?，∴??2＋＋A＝0，所以A＝－. 选A 即方程t2＋t＋A≥0的解集为??3??3?39
方法七 构造法
构造法求解选择、填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决。 例7、(1)若A＝ln
111111－，B＝ln －，C＝ln －，则A，B，C的大小关系为 ( ) 2 0152 0152 0162 0162 0172 017
D．C>A>B
A．A>B>C B．B>A>C C．C>B>A
1－x1
解析： (1)令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝.当0
xx
4
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∵1>
111>>>0，∴A>B>C. 选A 2 0152 0162 017
(2)如图，已知球O的表面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．
解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝
2
2＋
22＋22＝2R，
64πR3
所以R＝，故球O的体积V＝＝6π.
23
【变式】关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数n；再根据统计数n来估计π的值．假如统计结果是n＝102，那么可以估计π≈________(用分数表示)．
x＋y＞1，
??x＋y＜1，
解析：(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为?0＜x＜1，
??0＜y＜1，
2
2
5
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