辅助线专题
常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
换中的“对折”．
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的
思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角
形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平
移”或“翻转折叠”
5)．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 五、截长法与补短法，
具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 构造全等三角形几种方法
一、延长中线构造全等三角形
例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形
例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形
例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。
四、作垂线构造全等三角形
例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。
五、沿高线翻折构造全等三角形
例5. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。
六、绕点旋转构造全等三角形
例6. 如图11，正方形ABCD中，∠1＝∠2，Q在DC上，P在BC上。求证：PA＝PB＋DQ。
例7. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 cm.
8．如图，两个边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕
点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大
A
O D N G
B E M C 七、截长法与补短法，
例7：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。 求证：CD=AD+BC。 练习
12．（4分）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则点B到AC的距离是（ ）
A． 5
B． C．
D．
考点：
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
专题：
计算题．
分过A作AD⊥l3于D，过B作BF⊥AC于F，过C作CE⊥l3于E，则BF的长就
析： 是点B到AC的距离，根据AAS证△DAB≌△EBC，求出BE=3，根据勾股定
理求出BC、AB、AC，根据三角形的面积即可求出答案．
解答：
解：
过A作AD⊥l3于D，过B作BF⊥AC于F，过C作CE⊥l3于E，则BF的长就
是点B到AC的距离
∵AD⊥l3，CE⊥l3，
∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
在△DAB和△EBC中
，
∴△DAB≌△EBC，
∴AD=BE=3，
∵CE=3+1=4，
在△CEB中，由勾股定理得：AB=BC=5，AC=5，
由三角形的面积公式得：S△ABC=AB×BC=AC×BF，
即5×5=5BF，
即BF=，
故选C．
点本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰直角三角形，
评： 勾股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后能求出BE、AB、BC、AC
的长，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
18．（4分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为
．
考点：
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题：
压轴题．
分过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等
析： 腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即
可．
解答：
解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=1，
∴DE=．
故答案为：．
18．如图，在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°=2∠ECB，BD⊥CD，则（2BD）2= 16﹣8 ．
【考点】勾股定理．
【分析】延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于G．根据中垂线的性质和等腰直角三角形的判定和性质得到CF=2
，BG=CG=2，根据线段的和差求得FG=2
﹣2，
在Rt△BGF中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于G．
∵BD⊥CD，DF=BD，
∴CF=CB=2，∠DCF=∠ECB，
∵∠ABC=45°=2∠ECB，
∴∠BCG=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC=2，
∴BG=CG=BC=2，
∴FG=2﹣2，
在Rt△BGF中，（2BD）2=BF2=BG2+FG2=22+（2﹣2）2=16﹣8．
故答案为：16﹣8．
【点评】考查了勾股定理，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题关键是作出辅助线构造直角三角形，难度较大．
24．正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交
AE于G点，连结GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点.
(1)求证：△ABE≌△BCF；
(2)若正方形边长为4，AH=
165，求△AGD的面积. 24. 证明：(1)正方形ABCD中，∠ABE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又AE⊥BF，
∴∠3+∠2=90°，
则∠1=∠3 （2分）
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC
在△ABE和△BCF中，
??1??3 ??AB?BC ∴△ABE≌△BCF(ASA) ???ABE??BCF（2）延长BF交AD延长线于M点，∴∠MDF=90° 由（1）知△ABE≌△BCF，∴CF=BE
∵E点是BC中点，∴BE=
112BC，即CF=2CD=FD，在△BCF和△MDF中，
??BCF??MDF ??CF?DF ∴△BCF≌△MDF(ASA) ???BFC??MFD5分）
（6分）（
∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中点 （8分）
又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，
1AM=AD 2 ∴GD=
又正方形边长为4，∴GD=4
111632GD·AH=×4×= 2255 S△AGD=
1、在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD,连接BE。（1）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，求证：CE=2EF.（2）如图3，
11若BE⊥AD，垂足为点E,求证：AE2?BE2?AD2
4424．如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接
DE．
（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；
（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；
（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，由勾股定理求出AB，得出BC，即可得出结果；
（2）连接AF，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出△ABD是等腰直角三角形，得出∠DAB=∠DBA=45°，∠3=22.5°，由ASA证明△ADF≌△BDF，得出AF=BF，∠2=∠3=22.5°，证出△AEF是等腰直角三角形，得出AF=
AE，即可得出结论；
（3）作DH⊥DE交BE于H，先证明△ADE≌△BDH，得出DH=DE，AE=BH，证出△DHE是等腰直角三角形，得出∠DEH=45°，∠3=45°，由翻折的性质得出DE=GE，∠3=∠4=45°，证出DH=GE，DH∥GE，证出四边形DHEG是平行四边形，得出DG=EH，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图1所示：
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE，∠AEB=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴DE=AC=AE，
∴AC=2DE=2，AE=1，
∴AB==，
∴BC=，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+2；
（2）证明：连接AF，如图2所示：
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴∠3=∠4，
∵∠ADC=90°，AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠3=22.5°，
∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°，
∴∠1=∠3=22.5°，
∵DF平分∠ABD，
∴∠ADF=∠BDF，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF=BF，∠2=∠3=22.5°，
∴∠EAF=∠1+∠2=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE，
∵DE=AE，
∴BF=DE；
（3）解：BE=DG+AE；理由如下：
作DH⊥DE交BE于H，如图3所示：
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠ADE=90°﹣∠ADH=∠BDH，
在△ADE和△BDH中，
，
∴△ADE≌△BDH（ASA），
∴DH=DE，AE=BH，
∴△DHE是等腰直角三角形，
∴∠DEH=45°，
∴∠3=90°﹣∠DEH=45°，
∵△ACD翻折至△ACG，
∴DE=GE，∠3=∠4=45°，
∴∠DEG=∠EDH=90°，DH=GE，
∴DH∥GE，
∴四边形DHEG是平行四边形，
∴DG=EH，
∴BE=EH+BH=DG+AE．
2、已知：正方形ABCD中，?MAN?45o，?MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交
CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
当?MAN绕点A旋转到BM?DN时（如图1），易证BM?DN?MN．
（1）当?MAN绕点A旋转到BM?DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当?MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． A D AD A D
N
N
B
M 图1
C
B
M 图2
C
M B
C
图3
N
初二数学辅助线专题
