一．方法综述
高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，
既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考
题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最
值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,
涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等题目较为综合,解决此类问 , 题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为 函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三
是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解 . 二．解题策略
类型一 距离最值问题
【例 1】【河南省焦作市 2024 届高三三模】在棱长为 4 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E、F 分别在棱
AA1 和 AB 上，且 C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（
）
A． B．1 C． D．2
【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出
坐标，利用 C1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出
最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选 D. 【举一反三】
1、【江西省吉安市 2024 届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为
1
A．
B． C． D．
2、【河南省顶级名校 2024 届高三第四次联合测评】在侧棱长为 的正三棱锥 OC 两两垂直，现有一小球 P 在该几何体内，则小球 P 最大的半径为
中，侧棱 OA，OB，
A．
B．
C．
D．
1 1 1 1
1
1 1 1 1
3、如右图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B C D 中， E 为棱 CC 的中点，点 P, Q 分别为面 A B C D 和线段 B C 上的动点，则 ?PEQ 周长的最小值为_______．
1
类型二 面积的最值问题
【例 2】【河南省郑州市 2024 年高三第二次质量检测】在长方体
中， 与平面
，
没有公共点，
，
则三角形
分别是棱 的中点， 是底面 内一动点，若直线 面积的最小值为（ ）
A．
B． C． D．
【指点迷津】截面问题，往往涉及线面平行，面面平行定义的应用等，考查空间想象能力、逻辑思维能力
及计算求解能力.解题的关键是注意明确截面形状，确定几何量.本题由直线与平面没有公共点可知线面平
行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点 P 所在线段，得解．
【举一反三】
1、【湖南省衡阳市 2024 届高三二模】如图，直角三角形 旋转至
， ， ，将 绕 边
位置，若二面角 的大小为 ，则四面体 的外接球的表面积的最小值为（ ）
2
A．
B．
1 1 1 1
C．
1
D．
1 1 1 1
2、如图，在正四棱柱 ABCD ? A B C D 中， AB ? 1, AA ? 2 ，点 P 是平面 A B C D 内的一个动点，则三 棱锥 P ? ABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（
）
A．1 B．2
1C ．
2
1 D．
4
3、【福建省 2024 届高三模拟】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最
大值为（ ）
A．2 类型三
B．
体积的最值问 题
平面
，
C．3 D．
【例 3】如图，已知平面
， 、 是直线 上的两点， 、 是平面 内的两点，且 ，
3
专题4.4 立体几何中最值问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)
