破解了庞加莱，“是数学发展，也是人类思想发展的里程碑”。
●
延
庞
伸
加
阅
莱
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法国数学家庞加莱1904年提出一个猜想，即在一个三维空间中，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间一定是一个圆球。简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体
，
都
拓
扑●
等
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三
尔维
的
球兹
面
。 奖
这是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。每四年颁奖一次，每次最多四人得奖。得奖者在该年元旦前需不满四十岁。它是据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹的要求设立的。菲尔兹奖被视为数学界的诺贝尔奖。
●arXiv
由物理学家保罗·金斯巴格在1991年建立的网站，本意在收集物理学的论文预印本，随后括及天文、数学等其他领域。现今的数学家及科学家习惯将其论文先上传至arXiv.org，再
提
交
予●
专怪
业
僧
的
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术斯
期
普刊
。 丁
俄国尼古拉二世时的神秘主义者，擅长催眠术。因为对皇储阿列克谢的治疗工作而获得信任，可以自由出入宫廷。拉斯普丁掌握着对皇后的巨大影响力，甚至官员的任命都要先获得他的同意。1916年，他被政敌暗杀。（来源：科学松鼠会）
模块二答案： 函数
1.
【考点]】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据π＞3，6＜7，2＞1，0.8＜1，可知log3π＞1，0＜log76＜0，log20.8＜0，进而
比较出大小．
【解答】∵log3π＞1，0＜log76＜0，log20.8＜0
∴a＞b＞c 故选A．
【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象．是高考的热点． 1.1
【考点】对数函数的单调区间
【解析】依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0＜a＜1，b＜0 【答案】D
【点评】本题考查利用指对函数的图象或单调性解不等式，属基本题． 1.2
【考点】对数函数的单调性，函数图象的变换
【解析】用图像法解决，将y?lgx的图像关于y轴对称得到y?lg??x?，再向右平移两个单位，得到y?lg??x?2?，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到??f(x)?lg(2?x)的图像。由图像，选项中f(x)是增函数的显然只有D 【答案】D
【点评】易错点：对对数函数的性质模糊，平移出错。 1.3
【考点】对数函数的单调性，不等式
【解析】当x≤1时，2≤2的可变形为1-x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1-log2x≤2的可变形为x?【答案】D
【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解． 2.
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】本题所给的不等式是一个对数不等式，我们要先将不等式的三项均化为同底根据对
数函数的单调性，即可得到答案．
【解答】不等式log1x?log1y?0可化为：log1x?log1y?log11
221-x
1∴x≥1，故答案为[0，+∞）． 2222又∵函数y=log1x的底数0＜
21＜1 2故函数y=log1x为减函数
2∴x＞y＞1 故选D
【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据对数函数的性质将对数
不等式转化为一个整式不等式是解答本题的关键．
2.1 【答案】B
【解析】a?log23?log23?log23?13log23?log23， 2213log221b?log29?log23?2log23?log23?log23，c?log32? ?22log23log23则a?b?c 2.2 【答案】D
【解析】x?ln??1，
所以y?z?x，选D.
3.
【考点】平面向量数量积的运算．
，z?e?12?1e，
11??1， 2e【分析】f(x)?xb2?xa2，因为a?b，所以f(x)?x(b2?a2)，所以函数f（x）是一
次函数且是奇函数
??????????【解答】因为a?b，所以a?b?0，
?2???????2f(x)?(xa?b)?(xb?a)?xb?xa，因为a?b
?2?2所以f(x)?x(b?a)，
所
以
函
数
f
（
x
）
是
一
次
函
数
且
是
奇
函
数
故选A
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算和函数的奇偶性．求解中要明确两向量互相垂
直等价于二者点乘等于0
3.1
【考点】偶函数的定义
【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立，即x-|x+a|=x-|x-a|恒成立，即|x+a|=|x-a|恒成立，所以a=0 【答案】0
【点评】本题考查偶函数的定义：f（x）=f（-x）对于定义域内的x恒成立． 3.2
【考点】函数奇偶性的判断
【解析】∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；
|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定。故选A 【答案】A
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键． 3.3
【考点】偶函数的性质
【解析】：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若f(x)?f(2
2
x?3)时，即x?4x?3x?3)或?x?f()，得x2+3x-3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=-3或x3+x4=-5． x?4x?4x?3)的所有x之和为-3+（-5）=-8，故选C． ∴满足f(x)?f(x?4x?f(【答案】C
【点评】本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：变换自变量与函数值的关系、培养数形结合的思想方法． 4.
【考点】对数函数，图像的变换 【解析】因为y?lgx?3?lg(x?3)?1，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平10移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，故选C． 【答案】C
【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查． 4.1
【考点】对数函数的图像和性质，反函数
【解析】函数f（x）=logax恒过（1，0），将函数f（x）=logax向左平移3个单位后，得到f（x）=loga（x+3）的图象，故f（x）=loga（x+3）的图象过定点（-2，0），又由互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，所以其反函数的图象过定点（0，-2） 【答案】（0，-2）
【点评】指数函数恒过（0，1）点，对数函数恒过（1，0）点，则此不难推导： g（x）=a4.2
【考点】指数函数的图像与变换
x【解析】首先y?a?（x+h）
+k恒过（-h，1+k）点，而f（x）=loga（x+h）+k恒过（1-h，k）点．
11(a?0,a?1)以看成把函数y?ax的图象向下平移个单位得到
aa的．
111(a?0,a?1)是增函数，图象过点(0,1?)，当1?1??0，
aaa11x故排除A、B．当 1＞a＞0时，函数y?a?(a?0,a?1)是减函数，图象过点(0,1?)，
aa1且1??0故排除C，故选D．
ax当a＞1时，函数y?a?【答案】D
高三数学专题复习模块二函数
