模块二 函数
? 高考大纲
考试内容 函数及其表示 映射 函数的基本性质 单调性与最大（小）值 奇偶性 二次函数与幂函数 幂函数的图像及其性质 指数与指数函数 有理指数幂的含义 实数指数幂的意义 幂的运算 指数函数的概念、图像及其性质 对数与对数函数 对数的概念及其运算性质 换底公式 对数函数的概念、图像及其性质 指数函数与对数函数互为反函数（a>0且） 函数的图像 函数的值域与最值 函数的定义域和值域 函数的最大值和最小值 函数与方程 函数的零点 二分法 函数模型的应用 幂函数的概念 函数的概念与表示 要求层次 A B C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 分析解读
从考纲内容来看，主要考查：
（1）、了解函数的构成要素，会求一些简单函数的定义域和值域。 （2）、掌握简单的分段函数的应用。
（3） 以导数为工具研究函数的单调性，并以解答题形式出现。 （4）、函数奇偶性的判断常与函数的单调性、最值结合考查。 （5）、理解并掌握一次函数与二次函数的定义、图像及性质。
（6）、运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题。 （7）、了解幂函数的性质。 （8）、掌握几种常见幂函数的图像。
（9）、函数值的计算、函数值的求法、函数值的大小比较等。 （10）、对数式运算和对数函数的图像和性质或由它复合而成的函数。 （11）、以图像为载体考查函数的性质。 （12）、理解函数的值域与最值的定义。 （13）、掌握求函数的值域和最值的方法。 （14）、掌握求方程近似解的方法。
定义域定义对应法则值域映射函数性质奇偶性对数的性质单调性周期性对数反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数函数的图像和性质对数恒等式和不等式常用对数自然对数积、商、幂与根的对数指数函数区间一元二次函数一元二次不等式根式分数指数指数方程对数方程指数函数的图像和性质
? 考点一 函数及其表示
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数。
表示函数的常用方法有：解析法、图像法和列表法
? 考点二 函数的定义域
函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
? 考点三 函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, ⑴若当x1
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
如何利用导数判断函数的单调性？
内，若总有f (x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于0，不影响 在区间?a，b?函数的单调性），反之也对，若f (x)?0呢？
? 考点四 函数的奇偶性
⑴偶函数：f(?x)?f(x).设（a,b）为偶函数上一点，则（
?a,b）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称，例如：y?x2?1在
[1,?1)上不是偶函数.
f(x)?1②满足f(?x)?f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，f(?x).
⑵奇函数：f(?x)??f(x).设（a,b）为奇函数上一点，则（奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：
y?x3?a,?b）也是图象上一点.
在[1,?1)上不是奇函数.
f(x)??1时，f(?x).
②满足
f(?x)??f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若
f(x)?0? 考点五 二次函数
b?4ac?b2?2二次函数y?ax?bx?c?a?0??a?x???图象为抛物线
2a?4a?2?b4ac?b2?b??，?，对称轴x?? 顶点坐标为?2a4a?2a??开口方向：a?0，向上，函数ymin4ac?b2?
4aa?0，向下，ymax4ac?b2?
4a应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴
的两个交点，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端点值。②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。如：
y ???0 ?b? 二次方程ax2?bx?c?0的两根都大于k????k
(a>0) ?2a ??f(k)?0一根大于k，一根小于k?f(k)?0
O k x1 x2 x ? 考点六 幂函数
一般地，形如y?xa(a?R)的函数称为幂函数，其中a为常数。幂函数中，
12，3，，?1时，性质如下表所示： 当a?1，2
函数 特征 性质 定义域 值域 单调性 所过定点 12xy=x R R 增 （1，1） （0，0） y?x2 y?x3 y? y?x?1 {x|x?0} R [0，??） x?[0，??)增 x?(??，0]减 （1，1） （0，0） R R 增 （1，1） （0，0） [0，??） [0，??） 增 （1，1） （0，0） {y|y?0} x?(0，??)增 x?(??，0)减 （1，1）
结合以上特征，得幂函数的性质如下：
高三数学专题复习模块二函数
