高考综合复习－受力分析与平衡问题
审稿：李井军 责编：代 洪
【高考展望】
平衡类问题，不仅考查物体的受力分析，而且考查对力的处理方法。主要考查的知识点是：重力、弹力、摩擦力的产生条件及在力的三要素的基础上对物体进行正确的受力分析，进行正交分解，根据共点力的平衡条件和力矩的平衡条件列方程求解。
其中摩擦力，力的合成与分解是考查的热点，尤其是三个共点力的平衡问题。试题有一定的难度，且命题形式多样。
为了抓住本部分的高考知识点，必须熟练灵活地掌握本部分知识的基本概念和基本技能及方法。
另外与其他知识的综合平衡问题，如在电场力作用下带电粒子的平衡、安培力作用下物体的平衡等，也是考查的重点。
【典型例题】 1、力的平衡
（1）力的平衡
物体在共点力的作用下的平衡叫力的平衡。
（2）力的平衡条件
在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合＝0，或者Fx＝0，Fy＝0。
（3）平衡条件的应用
物体的平衡条件在实际中有广泛的应用，特别在受力分析时，结合物体的平衡条件，可确定未知力的大小和方向。
2、受力分析的方法
（1）隔离法和整体法
将研究对象与周围物体分隔或将相对位置不变的物体系作为一个整体来分析。
（2）假设法
在判断某力是否存在时，可先对其作出存在或不存在的假设，然后再就该力存在与不存在对物体运动状态是否产生影响来判断该力是否存在。 注意：
①研究对象的受力图，通常只画出根据性质命名的力，不要把按效果分解的力或合成的力画进去，受力图完成后再进行力的合成或分解。
②区分内力和外力。对几个物体的整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力就变成了外力，要画在受力图上。
③在难以确定物体的某些受力情况时，可先根据（或确定）物体的运动状态进行分析，再运用平衡条件或牛顿运动定律判定未知力。
3、用平衡条件解题的常用方法
（1）力的合成、分解法
对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到这两个分力必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。
（2）力汇交原理
如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必有共点力。
（3）正交分解法
将各力分解到轴上和轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件（ ），多用于分析三轴上的力多；被分解
个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对、方向选择时，尽可能使落在、
的力尽可能是已知力。
（4）矢量三角形法
物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法求得未知力。
（5）对称法
利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。在静力学中所研究对象有些具有对称性，模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。解题中注意到这一点，会使解题过程简化。
（6）正弦定理法
三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。
（7）相似三角形法
利用力的三角形和线段三角形相似。
4、平衡中的临界问题
（1）临界问题
某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
（2）解决临界问题的方法
在研究物体的平衡时，经常遇到求某物理量的取值范围。这样就涉及平衡物体的临界问题。解决这类问题的基本思维方法是假设推理法。即先假设这样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。 运用假设法解题的基本步骤是： ①明确研究对象； ②画受力图；
③假设可发生的临界现象；
④列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。
5、平衡物体中的极值问题
（1）极值是指研究的平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值。
中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件极值问题，区分的依据就是是否受附加条件限制。若受附加条件限制，则为条件极值。
（2）研究平衡物体的极值问题的两种方法 ①解析法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值，以及几何法求极值等。
②图解法
即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值，此法简便、直观。
例如：在三角形中一条边 a的大小和方向都确定，另一条边b只能确定其方向（即a、b间的夹角θ确定），欲求第三边c的最小值，则必有c垂直于b时最小，且
，如图所示：
【高考展望】
类型一——力学中的平衡
运动状态未发生改变，即
。表现：静止或匀速直线运动
（1）共点的三力平衡的特征规律
1、图中重物的质量为，轻细线AO和BO的A、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平的夹角为。AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是：（ ） A、 B、 C、 D、
解析：：三根细绳在O点共点，取O点（结点）为研究对象，分析O点受力。
O点受到AO绳的拉力F1、BO绳的拉力F2以及重物对它的拉力T三个力的作用。
图（a），选取合成法进行研究，将F1、F2合成，得到合力F，由平衡条件知： 则：
、
，由平衡条件知：
图（b），选取分解法进行研究，将F2分解成互相垂直的两个分力 则：
问题：若BO绳的方向不变，则细线AO与BO绳的方向成几度角时，细线AO的拉力最小？
结论：共点的三力平衡时，若有一个力的大小和方向都不变，另一个力的方向不变，则第三个力一定存在着最小值。
举一反三
【变式】质量为
的物体置于动摩擦因数为的水平面上，现对它施加一个拉力，使它做匀速直线运动，问拉力
与水平方向成多大夹角时这个力最小？
解析：取物体为研究对象，物体受到重力
，地面的支持力N，摩擦力
及拉力T四个力作用，如图所示：
由于物体在水平面上滑动，则
，将
和N合成，得到合力F，由图知F与
的夹角：
不管拉力T方向如何变化，F与水平方向的夹角不变，即F为一个方向不发生改变的变力。这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T与F互相垂直时，T有最小值，即当拉力与水平方向的夹角
时，使物体做匀速运动的拉力T最小。
（2）摩擦力在平衡问题中的表现
这类问题是指平衡的物体受到了包括摩擦力在内的力的作用。在共点力平衡中，当物体虽然静止但有运动趋势时，属于静摩擦力；当物体滑动时，属于动摩擦力。由于摩擦力的方向要随运动或运动趋势的方向的改变而改变，静摩擦力大小还可在一定范围内变动，因此包括摩擦力在内的平衡问题常常需要多讨论几种情况，要复杂一些。因此做这类题目时要注意两点:
①由于静摩擦力的大小和方向都要随运动趋势的改变而改变，因此维持物体静止状态所需的外力允许有一定范围；又由于存在着最大静摩擦力，所以使物体起动所需要的力应大于某一最小的力。总之，包含摩擦力在内的平衡问题，物体维持静止或起动需要的动力的大小是允许在一定范围内的，只有当维持匀速运动时，外力才需确定的数值。 ②由于滑动摩擦力
2、重力为G的物体A受到与竖直方向成的静摩擦力。
角的外力F后，静止在竖直墙面上，如图所示，试求墙对物体A
，要特别注意题目中正压力的大小的分析和计算，防止出现错误。
解析：：这是物体在静摩擦力作用下平衡问题。首先确定研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力图。A
受竖直向下的重力G，外力F，墙对A水平向右的支持力（弹力）N，以及还可能有静摩擦力。这里对静摩擦力的有
无及方向的判断是极其重要的。物体之间有相对运动趋势时，它们之间就有静摩擦力；物体间没有相对运动趋势时，它们之间就没有静摩擦力。可以假设接触面是光滑的，若不会相对运动，物体将不受静摩擦力，若有相对运动就有静摩擦力。（注意：这种假设的方法在研究物理问题时是常用方法，也是很重要的方法。） 具体到这个题目，在竖直方向物体 A受重力G以及外力F的竖直分量，即 当接触面光滑时，物体能保持静止； 当 当
时，物体A有向下运动的趋势，那么A应受到向上的静摩擦力；
时，物体A则有向上运动的趋势，受到的静摩擦力的方向向下，因此应分三种情况说明。
。
从这里可以看出，由于静摩擦力方向能够改变，数值也有一定的变动范围，同时，滑动摩擦力虽有确定数值，但方向则随相对滑动的方向而改变，因此，讨论使物体维持某一状态所需的外力 F的许可范围和大小是很重要的。何时用等号，何时用不等号，必须十分注意。
（3）弹性力作用下的平衡问题
3、如图所示，一个重力为的小环套在竖直的半径为的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L（L＜2r）弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A。当小环静止时，略去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦。求弹簧与竖直方向之间的夹角
。
解析：选取小环为研究对象，孤立它进行受力情况分析：小环受重力它的拉力F的作用，显然，
解法1——运用正交分解法
。
、大圆环沿半径方向的支持力N、弹簧对
如图所示，选取坐标系，以小环所在位置为坐标原点，过原点沿水平方向为 轴，沿竖直方向为
轴。
解得
解法2——用相似比法
与它
小环在三个力 F、G、N作用下处于平衡状态，这三个力必组成首尾相连的三角形，题述中恰有三角形AO相似，则必有对应边成比例
高考综合复习受力分析与平衡问题
