全国通用版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离练习新人教B版必修2

2.2.4 点到直线的距离

1点(3,1)到直线y=2x的距离为( )

A.5 B. C. D.

解析：直线方程化为2x-y=0,故所求距离d=答案：B .

2已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值是( )

A. B.2- C.-1 D.+1

解析：由点到直线的距离公式,得=1,

-1.

因为|a+1|=又因为a>0,所以a=答案：C ,所以a=±-1.

3已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,那么它们之间的距离是( )

A.4 B. C. D.

解析：因为两直线平行,所以3m=12,即m=4,6x+my+1=0可化为3x+2y+=0,由两平行直线间的距离公

式得d=答案：D .

4已知点P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线x-y=0的距离是( )

A.(a-b) B.b-a C.(b-a) D.

1

解析：因为P(a,b)是第二象限的点,所以a<0,b>0.

所以a-b<0.

所以点P到直线x-y=0的距离d=答案：C (b-a).

5若P,Q分别为3x+4y-12=0与3x+4y+3=0上任一点,则|PQ|的最小值为( )

A. B. C.3 D.6

解析：|PQ|的最小值即两条平行线间的距离,

则根据两条平行线间的距离公式得|PQ|=答案：C 6已知x,y满足3x+4y-10=0,则x+y的最小值为 A.2

2

2

2

2

=3.

( )

B.4 C.0 D.1

2

2

解析：因为x+y视为原点到直线上的点P(x,y)的距离的平方,所以x+y的最小值为原点到直线

3x+4y-10=0的距离的平方.因为d=答案：B =2,所以x2+y2的最小值为4.

7过点M(1,5)和点N(-2,9)分别作两条平行直线,使它们之间的距离等于5,则满足条件的直线共有( ) A.0组

解析：因为|MN|=直线垂直. 答案：B 8已知定点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是 . 解析：可设B(x,-x),

所以d(A,B)=,

B.1组

C.2组

D.3组

=5,所以满足条件的直线有且仅有1组,它们与线段MN所在的

2

又d(A,B)min=,

这时x=-,点B的坐标为.

答案：

9已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m= .

解析：由已知可得答案：0或

=3,即|m+3|=3,解得m=0或m=.

10与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线m的方程为 .

解析：设所求直线为5x-12y+c=0,则由两平行直线间的距离公式得2=20.故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0. 答案：5x-12y+32=0或5x-12y-20=0

11已知直线l过直线y=-x+1和y=2x+4的交点, (1)若直线l与直线x-3y+2=0垂直,求直线l的方程; (2)若原点O到直线l的距离为1,求直线l的方程.

,解得c=32或c=-解(1)由得交点(-1,2),

因为直线x-3y+2=0的斜率是,直线l与直线x-3y+2=0垂直,所以直线l的斜率为-3,

所以所求直线l的方程为y-2=-3(x+1), 即3x+y+1=0.

(2)如果l⊥x轴,则l的方程为x=-1符合要求. 如果l不垂直于x轴,设l的方程为y-2=k(x+1), 即kx-y+2+k=0,

3

原点O到直线l的距离=1,

解之,得k=-,此时l:y-2=-(x+1).

综上,直线l的方程为3x+4y-5=0或x=-1.

12两条互相平行的直线分别过A(6,2),B(-3,-1)两点,并且各自绕着A,B点旋转(但始终保持平行关系).如果两条平行线间的距离为d. (1)求d的变化范围;

(2)求当d取得最大值时两条直线的方程.

解(1)根据题意可知,当两平行线均与线段AB垂直时,距离d=|AB|=3都过A,B点时,距离d=0最小.但平行线不能重合,

所以0

最大;当两平行线重合,即

.

时,所求的两条直线的斜率相同,且k=-3,所以两条直线的方程分别为

3x+y-20=0和3x+y+10=0. ★

13已知点P(2,-1),求:

(1)过点P且与原点O距离为2的直线l的方程;

(2)过点P且与原点O距离最大的直线l的方程,并求此最大距离. 解(1)点P的坐标为(2,-1),由题意知可分两种情况:

①若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,原点到直线x=2的距离为2,满足题意; ②若直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y+1=k(x-2),

即kx-y-2k-1=0.

由已知,得=2,解得k=.

此时l的方程为3x-4y-10=0.

综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.

(2)过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,故设直线l、直线OP的斜率分别为kl,kOP.

4

由题意知kOP=-,由l⊥OP,得kl·kOP=-1,即kl=-=2.

由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.

即直线l:2x-y-5=0是过点P且与原点O距离最大的直线,且最大距离为14已知在△ABC中,A(1,1),B(m,

.

★)(1

解∵A(1,1),C(4,2),

∴|AC|=又直线AC的方程为x-3y+2=0,

.

根据点到直线的距离公式可得点B(m,)到直线AC的距离d=,

∴S=|AC|·d=|m-3+2|

=.

∵1

∴0≤,

∴S=.

∴当=0,即m=时,S最大.

故当m=时,△ABC的面积S最大.

5