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因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解 决许多数学问题的有力工具?因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分 解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用?初中 数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法?本讲及下一讲在中学数 学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、 提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、 运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:
22
(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a -b=(a+b)(a -b)； (2) (a ± b)2 = a 2 ± 2ab+b2 ----------- a2 土 2ab+b2=(a ± b)2; (3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a
2
2
3
3
3
+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);
3
2
2
(4) (a -b)(a +ab+b) = a -b ------------ a -b =(a-b)(a +ab+b). 下面再补充两个常用的公式：
(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c);
(6) a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)； 三、 分组分解法.
2 2 2 2
3
(一) 分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an bm bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看， 这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解, 然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=(am an) (bm bn)
=a(m n) b(m n) =(m n )(a b)
例2、分解因式：2ax 10ay 5by bx 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。 解：原式= (2ax 10ay) (5by bx)
=2a(x 5y) b(x 5y) =(x 5y)(2a b)
练习：分解因式1、a2 ab ac bc
2、xy x y 1
解法二：第一、四项为一组；
第二、三项为一组。
原式=(2ax bx) ( 10ay 5by)
=x(2a b) 5y(2a b) =(2a b)(x 5y) 每组之间还有公因式!
(二) 分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x2 y2 ax ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解,
2 2
所以只能另外分组。 例4、分解因式：a c\2ab b
解：原式=(x2 y2) (ax ay)
=(x y)(x y) a(x y)
解：原式=(a2
2ab b2)
2 2
2
c
=(a b) c
=(x y)(x y a)
右 Sr
=(a b c)(a b
c)
练习：分解因式3、x2 x 9y2 3y
综合练习：（1） x3 x2y xy2 y3 (3) x2 6xy 9y2
16a2 8a 1
(5) a4 2a3 a2
9
2 2
(9) y(y 2)
(m 1)(m 1) 四、十字相乘法
4x2 、
(2) ax2 bx2 bx ax
(4) a 6ab 12b 9b 4a
2 2
(6) 4a x 4a y b x
2 2 2
(8) a2 2a b2 2b 2ab 1
) (a c)(a c) b(b 2a)
2
2yz
b2y
2
(10
因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)29776
