(完整版)高考文科数学复习专题极坐标与参数方程

1．曲线的极坐标方程．

(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．

(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．

极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．

(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程．

(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．

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(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．

(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．

3．圆的极坐标方程．

(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．

(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示． (3)圆心在过极点且与极轴成如图3所示．

π

的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，2

4．极坐标与直角坐标的互化．

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若极点在原点且极轴为x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下：

?x＝ρcos θ，?y22?或者ρ＝x＋y，tan θ＝，

x??y＝ρsin θ

其中要结合点所在的象限确定角θ的值．

1．曲线的参数方程的定义．

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即

?x＝f（t），??并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，?y＝g（t），?

那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．

2．常见曲线的参数方程．

(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线：

?x＝x0＋tcos α，?

?(t为参数)， ?y＝y＋tsin α0?

其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

根据t的几何意义，有以下结论：

①设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|＝|tB－tA|＝（tB＋tA）－4tA·tB；

tA＋tB②线段AB的中点所对应的参数值等于.

2(2)中心在P(x0，y0)，半径等于r的圆：

?x＝x0＋rcos θ，??(θ为参数) ?y＝y＋rsin θ0?

2

(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：

?x＝acos θ，?x＝bcos θ，?????(θ为参数)?或??. ??y＝bsin θy＝asin θ????

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