QOD过O，
?直线CD与eO相切；
（2）解：连接BE，
QAB为eO的直径，
??AEB?90?，
Q由圆周角定理得：?B??ADE，
sin?ADE?3， 4?sin?ADE?sinB，
QsinB?AE， ABQeO的半径为12，
?
AE3?， 244解得：AE?18．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE?BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且?AFE??B． （1）求证：?ADF∽?DEC；
（2）若AB?8，AD?62，AF?42，求AE的长．
【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是平行四边形，
?AD//BC，AB//CD，
??ADF??CED，?B??C?180?； Q?AFE??AFD?180?，?AFE??B，
第16页（共22页）
??AFD??C， ??ADF∽?DEC；
（2）解：Q四边形ABCD是平行四边形，
?DC?AB?8． Q?ADF∽?DEC，
?6242ADAF，即， ??DE8DEDC?DE?12．
QAD//BC，AE?BC， ?AE?AD．
在Rt?ADE中，?EAD?90?，DE?12，AD?62，
?AE?DE2?AD2?122?(62)2?62．
21．（10分）已知Rt?ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C(2,6)在反比例函数
y1?k3的图象上，且sin?BAC? x5（1）求k的值和边AC的长； （2）求点B的坐标；
（3）有一直线y2?kx?10与y1?k交于M与N点，求出x为何值时，y2…y1． xk的图象上， x【解答】解：（1）Q点C(2,6)在反比例函数y??6?k，解得k?12， 23Qsin?BAC?
5?sin?BAC?63?， AC5?AC?10；
?k的值和边AC的长分别是：12，10；
（2）①当点B在点A右边时，如图，
第17页（共22页）
作CD?x轴于D．
Q?ABC是直角三角形， ??DAC??DCB，
3又Qsin?BAC?，
5?tan?DAC??
3， 4BD3?， CD4又QCD?6，
?BD?9， 2913?， 22?OB?2?13?B(，0)；
2②当点B在点A左边时，如图，
作CD?x轴于D．
Q?ABC是直角三角形，
??B??A?90?，?B??BCD?90?， ??DAC??DCB，
3又Qsin?BAC?，
5第18页（共22页）
?tan?DAC??
3， 4BD3?， CD4又QCD?6，
?BD?95，BO?BD?2?， 225?B(?，0)
2?点B的坐标是(?，0)，(5213，0)； 2（3）Qk?12， ?y2?12x?10与y1?12， x23?y?12x?10????x??x??解?得，?3，?2， 12y???x?y??8??y?18?32?M(，18)，N点(?，?8)，
2323y1． ???x?0或x?时，y2…3222．（12分）已知一次函数y1?2x?b的图象与二次函数y2?a(x2?bx?1)(a?0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为(0,1)． （1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；
（2）验证点B的坐标为(1,3)，并写出当y1…y2时，x的取值范围；
（3）设u?y1?y2，v?y1?y2，若m剟xn时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．
【解答】解：（1）把A(0,1)代入y1?2x?b得b?1， 把A(0,1)代入y2?a(x2?bx?1)得，a?1， ?y1?2x?1，y2?x2?x?1；
（2）作y1?2x?1，y2?x2?x?1的图象如下：
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x3， 由函数图象可知，y1?2x?1不在y2?x2?x?1下方时，0剟?当y1…x3； y2时，x的取值范围为0剟
（3）Qu?y1?y2?2x?1?x2?x?1?x2?3x?2?(x?1.5)2?0.25， ?当x…?1.5时，u随x的增大而增大；
v?y1?y2?(2x?1)?(x2?x?1)??x2?x??(x?0.5)2?0.25， ?当x?0.5时，v随x的增大而增大，
?当?15剟x0.5时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大， Q若m剟xn时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，
?m的最小值为?1.5，n的最大值为0.5．
23．（12分）在?ABC和?DBE中，CA?CB，EB?ED，点D在AC上． （1）如图1，若?ABC??DBE?60?，求证：?ECB??A；
（2）如图2，设BC与DE交于点F．当?ABC??DBE?45?时，求证：CE//AB； （3）在（2）的条件下，若tan?DEC?EF1时，求的值．
DF2
【解答】（1）证明：QCA?CB，EB?ED，?ABC??DBE?60?，
??ABC和?DBE都是等边三角形，
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2020年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷
