七年级数学：相交线与平行线 培优复习
例题精讲
例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。 解：∵ a∥b， la3∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)
4b∴ ∠1＝∠2 (等式性质) 2则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142°
∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。
例2．已知：如图(2)， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°，
∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。 A解：∵AB∥EF∥CD
∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） E 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°
C∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质） ∵∠B-∠D=24°（已知） 图(2) ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG平分∠BEF（已知）
BGFD1∴∠GEF=2∠BEF=30°（角平分线定义）
例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。
DC解：过E作EF∥AB ∵ AB∥CD（已知） ∴ EF∥CD（平行公理）
AB∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠DEB=∠DEF-∠BEF FE∴ ∠DEB =∠D-∠B=30°
评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。 图（3）
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例4．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？
解：2条直线产生1个交点，
第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；
第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点； …
则 n条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=
1n(n-1) 2评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。
例5．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？
解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条
直线，即能确定的直线为15-2=13条。
另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×
3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条 评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=
例6．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
1n(n-1) 2
解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；
3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域； 同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；
…
∴ 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域 推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+
11n(n+1)=(n2+n+2)块不同22的区域
思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
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巩固练习
1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条
A．6 B． 7 C．8 D．9
2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）
A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3
3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A．36条 B．33条 C．24条 D．21条
4．已知平面中有n个点A,B,C三个点在一条直线上，A,D,F,E四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n等于（ ）
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
5．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A．4对 B．8对 C．12对 D．16对 6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=( ) A．90° B．135° C．150° D．180°
EACHGBFA3G2B1CCA1EDF2DBD第 5 题F
第 6 题E 第7题
7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点
9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB∥CD∥EF，PS?GH于P，∠FRG=110°，则∠PSQ＝ 。
11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是 。
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ACSER第10题lHFGPQBD
12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 13．已知：如图，DE∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B
DEACB 第13题
14．已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G
A
EB
CGDF 第14题
15．如图，已知CB?AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，
∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA?AB
16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？
17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？
18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？
19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。
B第 15 题CEAD
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答案
1． 5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C
2．平面上3条直线可能平行或重合。故选D
3．对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段
对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。
故共有21条不重叠的线段。故选D
4．由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出n(n?1)条直线，若A,B,C三点不在一条
2直线上，可以画出3条直线，若A,D,E,F四点不在一条直线上，可以画出6条直线， ∴
n(n?1)?3?6?2?38. 整理得 n2?n?90?0,(n?10)(n?90)?0. 2∵ n+9＞0 ∴n?10, ∴选B。
5．直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+6＝16对
AAEE1G3AB1CFDGCDCB2FH2第 5 题BED第 6 题F
6．∵FD∥BE ∴∠2=∠AGF ∵∠AGC=∠1-∠3
∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180° ∴选B7．解：∵AB∥CD （已知） ∴∠BAD=∠CDA（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2 （已知）
∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2（等式性质）
即∠EAD=∠FDA ∴AE∥FD ∴∠E＝∠F
8．解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交
点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（个）
又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1＝6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数
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七年级数学：相交线与平行线-培优复习（附详细答案）
