全国高中数学联赛模拟试题(一)
姓名_____ 得分_______
第一试
一、
选择题：（每小题6分，共36分）
2
2
2
1、 方程6×(5a＋b)＝5c满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是 （A）1 （B）3 （C）4 （D）5
x22、 函数y?（x∈R，x≠1）的递增区间是
x?1（A）x≥2 （C）x≤0
（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1?2或x≥2
3、 过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）
的面积最小，则l的方程为
（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0 4、 若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在?0,
???
上有两个不同的实数解x，则参数a的取?2??
值范围是
（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1
5、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A）42 （B）45 （C）48 （D）51
6、 在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的
排列的个数是
（A）8 （B）10 （C）14 （D）16
二、
填空题：（每小题9分，共54分）
1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程
12
×[x＋x]＝19x＋99的实数解x2是 ．
2
2、设a1＝1，an+1＝2an＋n，则通项公式an＝ ．
99
3、数7被2550除所得的余数是 ． 4、在△ABC中，∠A＝
5?，sinB＝，则cosC＝ ．
1332
2
5、设k、是实数，使得关于x的方程x－(2k＋1)x＋k－1＝0的两个根为sin和
cos，则的取值范围是 ． 6、数5?24??2n（n∈N）的个位数字是 ．
三、
（20分）
已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．
求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．
四、
（20分）
2
（1） 求出所有的实数a，使得关于x的方程x＋(a＋2002)x＋a＝0的两根皆为整数．
322
（2） 试求出所有的实数a，使得关于x的方程x＋(－a＋2a＋2)x－2a－2a＝0有三
个整数根．
五、
（20分）
试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x＋(y－7)≤r}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何∈R，都有cos2＋xcos＋y≥0}之中．
2
2
2
第二试
一、（50分）
2
设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z－(a－c)z－b＝0．
a2?b??a?c?z?1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0． 求证：
ac?b 二、（50分） 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，
且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：
（1） AK⊥BC；
A P B D K Q C （2） AK?AP?AQ?
2S△ABC，其中S△ABC表示△ABC的面积． BC 三、（50分）
给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：
ai4?(j?1,2,3,?,n)． ?i?j2j?1i?1n
确定和式S?ai的值（写成关于n的最简式子）． ?i?12i?1n
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