空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算
【要点梳理】
要点一：两点之间的距离 1. 定义
连接两点的线段的长度叫作两点之间的距离.
如图，已知空间中有任意两点M，N，那么这两点间的距离d?MN. 2. 向量求法
设M?x1，y1，z1?，N?x2，y2，z2?，则
uuuurd?MN??x1 x2?2??y1 y2???z1 z2?.
22要点二：点到直线的距离 1. 定义
从直线外一点向直线引垂线，点到垂足之间线段的长度就是该点到直线的距离. 如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点. 过点A作做垂直于l的直线，垂足为A?，则AA'即为点A到直线l的距离.
要点诠释：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离距离． 2. 向量求法
uuur2uuur2d=PA PAgs0 要点诠释：
uuuruuur22（1）本公式利用勾股定理推得：点A到直线l的距离AA'=PA PA'，其中PA'是PA在s上的射影，即为PAgs0.
uuuruuuruuursPAgs（2）PAgs0=PA?cos?APA'=，s0为s的单位向量，其计算公式为s0=.
ss3.计算步骤
uuur① 在直线l上取一点P，计算点P与已知点A对应的向量PA；；
② 确定直线l的方向向量s，并求其单位向量s0=uuuruuur③ 计算PA在向量s上的投影PAgs0； uuur2uuurd=PA PAgs0④ 计算点A到直线l的距离
2s； s. 要点诠释：在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择. 4. 算法框图
要点三：点到平面的距离 1.定义
自点向平面引垂线，点到垂足间的距离的长度叫作点到平面的距离.
如图，设?是垂直于向量n的平面，AP是平面?的一条斜线，作AA'??，垂足为A'，则AA'即为点A到平面?的距离. 2.向量求法
uuurd=AA'=PAgn0
其中n0为平面?的单位法向量，其计算公式为n0=3.计算步骤
uuur① 取平面?内一点P，计算点P与已知点A对应的向量PA；
n. n② 求出平面?的一个法向量n，并计算其单位向量n0=uuur③ 计算PAgn0，
n； nuuur④ 计算点A到平面?的距离d=APgn0. 4. 算法框图
要点诠释：
（1）P是平面内任意一点，可根据计算的需要灵活选择. （2）点面距还有一种重要的求法为等积转化法. 要点四：两条异面直线的距离 1. 定义
两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度叫作两条异面直线的距离.
如图，已知l1，l2是两条异面直线，直线AB?l1，且AB?l2，垂足分别是B，A，则AB即为异面直线l1，l2的距离.
2. 向量求法
设n是的l1，l2的公共法向量，又C，D分别是l1，l2上的任意一点，则l1，l2之间的距离为
uuuruuurd?AB?CDgn0
其中n0为n的单位向量，其计算公式为n0=n. nuuurCDgnn要点诠释：l1，l2之间的距离也可以写成d=3. 计算步骤
.
① 确定直线l1，l2的公共法向量n，并计算与其共线同向的单位向量n0=n； nuuur② 取l1上一点C，l2上一点D，计算CD；
uuur③ 由公式d?CDgn0计算异面直线l1，l2的距离.
要点五：与平面平行的直线到平面的距离 1. 定义
如果一条直线和一个平面平行，那么从这条直线任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度就是这条直线与这个平面间的距离.
如图，已知直线l∥平面?，点A?l，作AA'??垂足为A'，则AA'就是直线直线l与平面?间的距离. 2. 向量求法
设n是平面?的法向量，P是平面?内异于A'的点，则点A到平面?的距离为
uuurd=AA'=PAgn0
其中n0为与向量n共线同向的单位向量，即为平面?的单位法向量，其计算公式为
n0=n. n要点诠释：线面距的主旨在线上任取一点，转化为点面距. 3.计算步骤
uuur① 取直线上任一点A，平面?内一点P，计算点P与点A对应的向量PA；
② 求出平面?的一个法向量n，并计算与其共线同向的单位向量n0=n； nuuur③ 由公式d=APgn0可得点A到平面?的距离.
要点六：两平行平面间的距离 1. 定义
夹在两平行平面之间的公垂线段的长度就是这两个平行平面间的距离.
如图，已知直线l与平面?，?，?∥?，l??，l??，垂足分别为A，A'，则AA'就是平行平面?，?间的距离.
2. 向量求法
设n是平面?（或?）的法向量，点A??,P??，则
uuurd=AA'=PAgn0 其中n0为与向量n共线同向的单位向量，其计算公式为n0=要点诠释：面面距的主旨在转化为点面距. 3. 计算步骤
uuur① 取平面?内任一点A，平面?内一点P，计算点P与点A对应的向量PA；
n. n② 求出平面?（或?）的一个法向量n，并计算与其共线同向的单位向量n0=n； nuuur③ 由公式d=APgn0可得平行平面?，?间的距离.
【典型例题】
类型一：两点之间的距离
例1. 如图，在单位正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是A1D，BD1的中点，求MN的长.
【思路点拨】建系，写出点A1，D1，B，D，由中点公式写出点M，N的坐标，即可求出MN. 1 2【解析】如图，以D为原点建立空间直线坐标系，则
【答案】
01?，B?1，A1?1，，01?，D1?0，，1，0?，
1??1?111?由中点公式可得，M?，，0?，N?，，?，
2??2?222?11??1??11?1所以，MN=?? ??? 0??? ?=.
?22??2??22?2222【总结升华】灵活掌握两点间的距离公式.
【变式1】如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?5，BC?3，AA1?4，11M，N分别是AB1，BD的点，且 AM?AB1，BN?BD，求MN的长.
3352 3【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，则
【答案】B?5，0，0?，D?0，3，0?，B1?5，0，4?， 设M?x，y，z?，N?x'，y'，z'?， 11，AM?ABBN?BD，得由133 ?54??10?M?,0,?, N?,1,0?， ?33??3?522?510??4?所以，MN=? ???0 1??? 0??.
3?33??3?
【变式2】把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ADC，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求EF的长.
3a 2【解析】如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz，设正方形ABCD边长为a，
22【答案】
知识讲解 空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算
