重庆大学《线性代数》模拟试题(5) - 图文

一、填空题（每小题3分，共18分） 1. 设A???ab??为正交阵，则ac?bd? ．０ cd??D．若矩阵AB和BA可交换，则矩阵A和B也可交换。 4.中下列各组矩阵，两个矩阵互相相似的是 【B】 A. 2. 设A,B,C均为n阶矩阵，已知det(E?A)?0．若B?E?AB,C?A?CA， 则B?C? ．E 3.设A为三阶矩阵,且A?E,A?2E,A?3E均为奇异矩阵,则A?4E? ?12 4.已知三维向量组?1,?2,?3线性无关,则向量组?1??2,?2?k?3,?3??1线性无关的充要条件是k .?1 5.已知A???1,?2,?3,?4?,其中?1,?2,?3,?4为4维列向量,且Ax?0的通解为??11??10??01?,?01?; B. ????，?10??11??02?,?02?;C. ????则平面?11??21??11?,?02?; D. 设????上三条直线?i?(ai,bi,ci)T,i?1,2,3ra1x?a2y?a3?0,b1x?b2y?b3?0,c1x?c2y?c3?0交于一点的充分必要条件是 rrrrrrrrr 【D 】 A. ?1,?2,?3?0; B. ?1,?2,?3?0 ;C. R(?1,?2,?3)?R(?1,?2); D. ?1,?2.rrrrrrrrrr线性无关，但?1,?2,?3线性相关。 . rrrrrrrrk((1,?1,2,?1)T,则?1可由?2,?3,?4线性表示为 . ?1??2?2?3??4 rrrrrrrrrr6. 设A?(?,?1,?2),B?(?,?1,?2)为3?3的矩阵，其中?,?,?1,?2均为3维列向量，已知行列式A?2,B?rr5.设A是四阶矩阵,且方程组Ax?b只有一个解,B是划去A的第一行所得到的矩阵,则秩R(B)? 【D】 A.0; B．1; C．2; D．3. 6.设?1,?2是n阶矩阵A的两个特征值，其对应的特征向量分别是?1,?2，且1，则行列式A?B? 10 . 2 二、单项选择题（每小题3分，共18分） rr??1．若?,?线性无关，k为任意实数，则 【A】 A．???线性无关; B．???线性相关; C．k?线性无关; D．k?线性相关. 2．设A为n阶矩阵,且A?0,则矩阵(E?A)22?1???2?0，则 【C】 A．?1??2是A的特征向量; B．?1??2是A的特征向量; C．?1??2是A的特征向量; D．?1??2不是A的特征向量. 2??????rrrr3?1? 【B】 2rr2rr2A．E?A?A; B．E?A?A ; C．E?A?A ; D．E?A?A. 3．下列命题错误的是 【D】 A．若矩阵A和B可交换，则矩阵AB与矩阵BA也可交换。 B．若矩阵A?B和矩阵A?B可交换，则矩阵A和B也可交换。 C．若矩阵A和B可交换，则A和B也可交换。 TT1010三、判断题（每小题2分，共10分）（请在括号内填写“对”或者“错”） 1．向量空间V?xx?(0,0,a3,L,an),ai?R的维数为n?2. (对) 2．设A,B为任意矩阵，且AB可逆，则(AB)3．?1?rr??B?1A?1 (错) A与B3.方阵A与B合同，则一定等价. (对) 第 1 页 共 3 页 4. 若A,B为n阶非零矩阵,且AB?0,则A?0且B?0. (对) 5. 设A是m?n矩阵,且秩R(A)?m,若增加矩阵A列数,则A的秩可能增加.(错) 四、计算题（一）（每小题8分，共16分） ??x2?ax3?0??ax?x?ax?1?124 ?x?x?x?1?134??x2?ax3?b对方程组的增广矩阵施以初等变换得 11.计算行列式D?11233343112333431243444的值. 222332442?0??a??1??0?1a1010??1?00a1?????1?11??0???a0b??000?110000?1100?a0?0?? a?1??b?11解: D?2?3?4?当a??1或b?0时，方程组无解。 122213321442?4!?3!?2!?288 当a??1,b?0时，方程组有解，通解为 ?21?1??1?13???A?210,B?2.解矩阵方程XA?B,其中?432?. ??????1?11???101?1??, ?1?23?2解:A?3,A??3????330???1??1??1??0???1??0?x????k1???k2??，k1,k2为任意常数。 ?0??1??0???????00?????1?综上，当且仅当a??1,b?0时，存在满足条件的矩阵C，且 ?1?k1?k2C??k1? ?k1?，k1,k2为任意常数。 k2??1?1??663???22X?BA????? ?835?233??815?2?????1五、计算题（二）（每小题12分，共24分） 222．设矩阵A有二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?2ax1x2?4x1x3?8x2x3（a为整数），?x1?1a??01?1．设A???,B??1b?. 当a,b为何值时,存在矩阵C??x10?????3x2?使得x4??222通过正交变换化标准形f(y1,y2,y3)?y1?6y2?by3. 试求（1）常数a,b；（2）化二次型为标准形的正交变换矩阵. AC?CA?B,并求所有矩阵C. 解：AC?CA?B成立的充分必要条件为 ?0a?2??1????6? 解：（1）A?a44,????????b???24?3????由0?4?3?1?6?b?b??6 第 2 页 共 3 页 由A?1?6?b?3a2?16a?20??36?a?2,a?10（舍去） 3A???AT?A??A?A?0或A??1 22又因A?(aij)是3阶非零矩阵，故A?ai1Ai1?ai2Ai2?ai3Ai3??(ai21?ai2?ai3)?0 2??2??1??1?r??r??r??（2）A的对应于??1,6,?6的特征向量分别为?1?0,?2?5,?3??1， ??????????1???2???2???1??25??r?r?单位化后为?1??0?,?2??5??15?????2??25?正交变换矩阵为P??0???15152?16?30??r??30?,?3???16? ???30????26??3030306???16? . ?26??1从而A??1 2. 设三阶实对称矩阵A的特征值为0,1,1，?1,?2是A的两个不同的特征向量，且rrrrrrrrTrA(?1??2)??2。（1）证明：?1?2?0；（2）求方程组Ax??2的通解。 （1）证明：由已知，?1必是A的对应于0的特征向量，?2是A的对应于1的特征向T量，实对称阵的属于不同特征值的特征向量正交，即?1?2?0。 rrrr（2）因存在可逆矩阵P，使得PAP?diag(0,1,1)，故R(A)?2，方程Ax??2解?1rr 六、证明题（14分，每小题7分） 1. 设A?(aij)是3阶非零矩阵，A为rrrrrrrr空间的维数为1。由（1）知A?1?0,A?2??2，故Ax??2通解为x?k?1??2. r A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij?Aij?0(i,j?1,2,3)，证明A??1. ?A11??解：A?A12???A13A21A22A23A31???a11??aA32????12A33?????a13?a21?a22?a23?a31?T?a32???A ??a33??第 3 页 共 3 页