第十二讲 解三角形
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
3、三角形中的基本关系：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,
sinA?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222abc???2R． sin?sin?sinC4、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有
5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；
abc，sin??，sinC?； 2R2R2Ra?b?cabc③a:b:c?sin?:sin?:sinC；④． ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC②化边为角：sin??b2?c2?a27、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?等，变形： cos??等，
2bc2228、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9、三角形面积公式：S???C?111bcsin??absinC?acsin?． 22210、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：
①若a?b?c，则C?90；②若a?b?c，则C?90；③若a?b?c，则C?90． 11、三角形的四心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
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222o222o222o 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12
．
坡
角
和
坡
比
坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．
坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．
1. △ABC中，B?45o，C?60o，c?1，则最短边的边长等于 （ 6613A 3 B 2 C 2 D 2
a?b?c2. △ABC中，cosAcosBcosC，则△ABC一定是 （ ）2 / 10
）
A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
a?b?co3.△ABC中，若A?60，a?3，则sinA?sinB?sinC等于 （ ）
13A 2 B 2 C 3 D 2
4. △ABC中，A:B?1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA?（ ）
A
113 B C D 0 3245.在钝角△ABC中，已知a?1，b?2，则最大边c的取值范围是 。
一、利用正弦、余弦定理解三角形
【例1－1】(2012辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．
(1)求cos B的值；
(2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值．
sin A＋sin B【例1－2】△ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，tan C＝，sin(B－A)＝cos C.
cos A＋cos B(1)求A，C；
(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.
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二、三角形形状的判定
【例2－1】△ABC满足sin B＝cos Asin C，则△ABC的形状是( )． A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【例2－2】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
三、与三角形面积有关的问题
π
【例3】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
3(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝( )．
11
A．－ B． C．－1 D．1
22
2．在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且acos B＝bcos A，则△ABC的形状为____． 3．(2014福建高考)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝3，则AC＝___． π
4．(2016陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝
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23，则b＝______.
5．(2015山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.
(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
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高中数学必修五--第一章---解三角形知识点归纳及测试卷
