?11??11?11??11????A??2a?2?b?23???0a?b1??0?3aa?2b?3??00a?b0? ????（1）a?0时,(若b=0则R(A)?1,R(A)?2,若b?0则R(A)?2,R(A)?3) 方程组无解，即?不能用?1,?2,?3线性表示
（2）a?0,a?b?0时，R(A)?R(A)?3，方程组有唯一解，即?可由?1,?2,?3唯一地表示，求表示式：
?11?11??1101??1001?1a??????1?A??0a?b1???0a01???010a??00a?b0??0010??0010? ??????1???(1?1)??1aa?2
（3）a?0,a?b?0时，R(A)?R(A)?2，?可由?1,?2,?3表示，但表示式不惟一，求表示式：
?11?11??1001?1a????1?A??0a?a1???01?1a?
?0000??000?0????1???(1?1)??(1aa?k)?2?k?3
其中k为任意常数。
2．
解：(1)由题意
??2??4?22?T????1???2?11?????21?1??1??????
?2?11???T?的特征方程为
4???22?21???1?0，即?2(??6)?0 2?11??所求特征值为??0,0,6
??0时，特征向量(x1,x2,x3)T满足方程
??4?22????21?1??x1???x???0??2???0? ??2?11????x3????0??
得??0对应的特征向量(0,1,1)T,(1,1,?1)T 同理得??6对应的特征向量(2,?1,1)T
（2）取正交阵
?1236?Q??0?11?1??236? ??1?11?236???得QT?T?Q??0??0?? ??6?? 3.
解：(1)设R3中自然基为?1=(1, 0, 0), ?2=(0, 1, 0), ?3=(0, 0, 1)
则
?351???3??121???41?6????1??1?2?3????1?2?120???3??230???131?????1?2?3????1?2故
??1?2?3????1?2?123??351?????3??237121?????131??41?6????????1?2??27?71?41???3??9209???4128???基?1,?2,?3到?1,?2,?3的过渡矩阵为：
坐标变换公式：
这里
??27?71?41???P??9209??4128????y1??x1?????1?y?Px22?????y??x??3??3?181??1319?4???63P?1???9?13???2???99???710?4??
（2）向量??2?1??2??3在基?1,?2,?3下的坐标为：
（3）向量???1?2?2?4?3在基?1,?2,?3下的坐标为： 八、 证明:必要性
由l1,l2,l3交于一点得方程组
??27?71?41??2??58???????9209?1??11???????4???1???12?128??????181??1319?4??1??156?????9?13?63???2????109?????2???86?4????????99???710?4???ax?2by?3c?0??bx?2cy?3a?0 有解 ?cx?2ay?3b?0?a2b3c故 R(A)?R(A)?b1bc1ab2c3a?0?(a?b?c)1ca?0
c2a3b1bc由于1c222a??1[(b?a)?(c?b)?(a?c)]?0 21ab所以a?b?c?0
充分性：a?b?c?0?b??(a?c) 所以
a2bb2c?2(ac?b2)?2[ac?(a?c)2]??[a2?c2?(a?c)2]?0
?R(A)?R(A)?2,因此方程组
?ax?2by?3c?0??bx?2cy?3a?0 有唯一解，即l1,l2,l3交于一点 ??cx?2ay?3b?0
北京航空航天大学线性代数期中期末考试自考试卷及答案两套
