试题一参考答案
一. 1. B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.A
二. 1. 0
2E?A2. A?1=
33. ?1,?2,?3 4. 无关 5. 不是
6. (?12?1)(?22?1)L(?n2?1) 7. n?2 8. 2
三. 解 由 2X?AX?B，得 (2E?A)X?B. 因为
1?1|2E?A|?11000?1?3?0，所以矩阵2E?A可逆， 2(2E?A)*B
|2E?A| X?(2E?A)?1B?21??1?2???21??0?????1? =??321???30????33?.
3???????0?11??03??11?
2?2?2???5???4四. 解: ?2??2?45?????2? ???1??1~5???1?2??01???0?0??21??(1??)(10??)2???1??? (1??)(4??)??2?1(1??)2(10??)?0 ???1且??10时，有唯一解. 当A?0,即
2(1??)(10??)(1??)(4??)?0且?0，即??10时，无解.
22(1??)(10??)(1??)(4??)当?0且?0，即??1时，有无穷多解.
22当
?12?21???此时，增广矩阵为?0000?
?0000????x1???2??2??1?????????原方程组的解为?x2??k1?1??k2?0???0? (k1,k2?R)
?x??0??1??0??3????????5?13???五. 1. 二次型f所对应的矩阵为：A???15?3?,
?3?33???
2. 可求得det(A??E)???(??4)(??9),
于是A的特征值?1?0,?2?4,?3?9,
?1??1p2????,?0????1???1p3????. ?1????12?????12?, ???0?????1???特征向量 p??1?,1?2???将其单位化得
q?1pp11??16?????16?,???26???q2?pp22 q?3pp33?13??????13?. ???13???
故正交变换为：
?1??6?x1?????1 ?x2??????6?x3??2??6121201??3??y??1?221??????y2?, 标准型： f?4y2?9y3. 3????1???y3??3?
六．解： 易验证?1,?2,?3线性无关，从而可施行施密特标准正交化.
令 ?1??1?(1,1,1)，
??2,?1?3?1?(0,1,2)?(1,1,1)?(?1,0,1)，
??1,?1?3??3,?2???3,?1? ?3??3??2??1
??2,?2???1,?1? ?2??2? ?(2,0,3)?(?1,0,1)?(1,1,1)
七．证法1. 充分性
由R(A)+R(A-E) = n可得: [n - R(A)]+[n - R(A-E) ]= n
则方程组AX=0与(A-E)X=0两个解空间的维数之和为n,
故A有n个线性无关的特征向量?i?0?i?1,2,?,n?分别属于特征值0,1
1253?Er?存在P(P可逆), 使得: P-1AP=??
0n?r???Er2于是PAP=??-1
2
??Er?-1?= PAP ???200n?r??n?r?故A2=A
2. 必要性 因为 A2=A 所以 A(A-E)=0
从而 n=R(E)?R(A)+R(A-E)?n
故R(A)+R(A-E) = n. 得证.
线性代数期末考试模拟题二
一、判断题。在每小题后面的小括号内打“√”号或“×”号
1．任何实对称矩阵都可以表成一系列初等矩阵的乘积。 （ ） 2．方阵A与其转置阵 AT有相同的特征值，因此有相同的特征向量。（ ） 3.设Aij为n阶行列式D?|aij|中元素aij的代数余子式，若
aij??Aij(i,j?1,2,?,n)，则D?0。 （ ）
4．若?1,?2,?,?r为线性方程组AX?0的基础解系，则与?1,?2,?,?r等价的
向量组也为此方程组的基础解系。 （ ） 5． 设a,b,c是互不相等的数，则向量组
(1,a,a2,a3)，(1,b,b2,b3)，(1,c,c2,c3)
是线性无关的。 （ ）
二、单项选择题
1. 设n阶方阵A,B,C 满足关系式ABC?E，则 成立。 A. ACB?E； B. CBA?E； C. BAC?E； D. BCA?E.
2. 设n维向量?1,?2,?,?m(m?n)线性无关，则n维向量?1,?2,?,?m线性
无关的充要条件为 。
A. 向量组?1,?2,?,?m可由向量组?1,?2,?,?m线性表示； B. 向量组?1,?2,?,?m可由向量组?1,?2,?,?m线性表示； C. 向量组?1,?2,?,?m与向量组?1,?2,?,?m等价；
D. 矩阵A?（?1,?2,?,?m）与矩阵B?（?1,?2,?,?m）等价。
3．设非齐次线性方程组AX?b的两个不同解为?1,?2，它的导出组的一个
基础解系为?1,?2，则线性方程组AX?b的通解X= (其中
k1,k2为任意常数)。
1A. k1?1?k2(?1??2)?(?1??2)；
21B. k1?1?k2(?1??2)?(?1??2)；
21C. k1?1?k2(?1??2)?(?1??2)；
21D. k1?1?k2(?1??2)?(?1??2).
2 4. 设A,B均为n(n?2)阶方阵，则必有 。 A. |A?B|?|A|?|B|； B. AB?BA；
C. |AB|?|BA|； D. (A?B)?1?B?1?A?1 5. n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是 。
A. R(A)?R(B)； B. A与B的正惯性指数相等； C. A，B为正定矩阵； D. A,B同时成立。
三、填空题
1．?,?,?为三维列向量，已知三阶行列式|4???,??2?,2?|?40，则行列式|?,?,?|? 。
2．五阶方阵A的特征值为1，1，2，2，3，E为五阶单位阵，则
|A?4E|? 。
?O2A?3．设A,B为同阶可逆矩阵，则??BO??= 。
???1?3?(3,4,5,6)T，?2?(2,3,4,5)T，?4?(4,5,6,7)T，4．设向量组?1?(1,2,3,4)T，
则R(?1,?2,?3,?4)= 。
?1????135．若方阵A相似于??2?，则|A|= 。
?2???6．已知A,B均为n(n?2)阶矩阵，A*,B*分别为它们的伴随矩阵，如果
R(A)?n?1,R(B)?n，则R(A*B*)= 。
北京航空航天大学线性代数期中期末考试自考试卷及答案两套
