北京航空航天大学线性代数期中期末考试自考试卷及答案两套

北京航空航天大学线性代数期中期末考试自考

试卷及答案两套 线性代数期末考试模拟题一

一、单项选择题

1．设A为3阶方阵, 数? =?2, |A| =3, 则|?A| =（ ） A．24; B．?24; C．6; D．?6.

??2．设A为n阶方阵, n1+n2+n3=n, 且|A|?0, 即A???A?3A2A1???, ?????; A3?1?????. A1?1??则A-1=( )

??A．A???A3?1???C．A???A1?1??1A2?A1?1A1?1???A?; B．???????A3?1A3?1???A?; D．???????1A2?1A2?1A2

3．设A为n阶方阵, A的秩R(A)=r

C．任意r个列向量都构成最大线性无关组;

D．任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出. 4．若方程组AX=0有非零解, 则AX=β(≠0)（ ）

A．必有无穷多组解; B．必有唯一解; C．必定没有解; D．A、B、C都不对.

5. 设A、B均为3阶方阵, 且A与B相似, A的特征值为1, 2, 3, 则(2B)-1 特征值为( )

31112A．2, 1, ; B. , , ; C．1, 2, 3; D．2, 1, .

22463

6. 设A，B为n 阶矩阵，且R（A）=R（B）， 则（ ）

A．AB=BA;

B．存在可逆矩阵P, 使P-1AP=B; C．存在可逆矩阵C, 使CTAC=B; D．存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B.

22?x3?2x1x2是（ ） 7．实二次型f?x1,x2,x3??x12?2x2A．正定二次型; B．半正定二次型; C．半负定二次型; D．不定二次型.

8．设A, B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有（ ）

A．A的列向量线性相关,B的行向量线性相关； B．A的列向量线性相关,B的列向量线性相关； C．A的行向量线性相关,B的行向量线性相关；

D．A的行向量线性相关,B的列向量线性相关.

二、填空题

⒈若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于_______________;

2.设n阶矩阵A满足A2?2A+3E=O，则A-1=_______________;

??3.设?1??0,3,1,2???T????,?2??1,?1,2,4?,?3??3,0,7,13?????TT，则

?1,?2,?3的一个最大线性无关组为___________________________;

4. 设?0是非齐次方程组AX=b的一个解向量，?1,?2,?,?n?r是对应的齐次方程组AX=0的一个基础解系，则 ?0,?1,?2,?,?n?r线性__________; 5. 设?1 , ?2 为n阶方阵A的两个互不相等的特征值，与之对应的

特征向量分别为X1，X2，则X1+X2_________________________矩阵A的特征向量。

，

6. 设A为n阶方阵， 若A有特征值?1 , ?2 ,?, ?n，则

|A2+E|=____________________________________;

7. n维向量空间的子空间W=数是__________;

8. 设A?(?1,?2,?3), B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3) 如果|A|=1, 那么 |B| = _______.

三、解矩阵方程 2X?AX?B，其中

?110??1?2?????A???121?， B???30?.

??100??03?????x?x?L?x?0?(x，,x, ?, x): ??的维??x?L?x?01

2

n

12n2n

?x1?四、设方程组?x1?x?1?x2??x2?x2?x3?x3??2x3?1,??, ??.问当? 取何值时， （1）方程组有唯一解； （2）方程组无解；

（3）方程组有无穷多解，求其通解（用解向量形式表示）.

22五、已知二次型, f?x1,x2,x3??5x12?5x2?3x3?2x1x2?6x1x3?6x2x3，

(1) 写出此二次型对应的矩阵A;

(2) 求一个正交变换x=Q y, 把二次型f(x1, x2, x3)化为标准型.

六、设?1?(1,1,1)，?2?(0,1,2)，?3?(2,0,3)是R 3中的向量组，用施密特正交化方法把它们化为标准正交组.

七、设A为n阶方阵, 求证: A2 = A的充分必要条件是:

R(A)+R(A-E) = n.