2019中考数学专题复习 动态几何专题三(附答案详解)
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静,解决这类问题的基本思路是以静制动,抓住移动过程中的一个瞬间,找出各组量之间的数量关系,利用对应的知识的构建方程或函数关系式解决问题.
数学思想:分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
三、,解决动态几何问题的常见方法:
一、 特殊探路,一般推证
1.如图,⊙O1和⊙O2内切于A,⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为2,点P为⊙O1上
BP的任一点(与点A不重合),直线PA交⊙O2于点C,PB切⊙O2于点B,则PC的
值为
63(A)2 (B)3 (C)2 (D)2
分析:本题是一道选择题,给出四个答案有且只有一个是正确的,因此可以取一个特殊位置进行研究,当点P满足PB⊥AB时,可以通过计算得出
223?1?22 PB=
BO1PCO2ABC×AP=BP×AB,因此
AB?BP22AB?BPBC=
?8216?8?8226?426,
263,
BP2?BC2?在三角形BPC中,PC=
BO1O2CABP所以,PC=3选(B)
PBPAP?当然,本题还可以根据三角形相似得PCBP,即可计算出结论。
作为一道选择题,到此已经完成,但如果是一道解答题,我们得出的结论只是一个特殊情况,还要进一步证明对一般情况也成立。 2,.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=4,OA?BC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与B、A重合。 判断?OEF的形状,并加以证明。
BOEFCA判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化,若变化,求其变化范围,若不变化,
求它的值.
?AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化,若变化,求其变化范围,若不变化,求它的值。
分析:本题结论很难发现,先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点,显然有ΔEOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无限接近时,点F
C与点C无限接近,此时ΔEOF无限接近ΔAOC,而ΔAOC为等腰直角三角D形,几种特殊情况都可以得出ΔEOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗?OE与OF相等吗?∠EOF为直角吗?能否证明。如果它们成立,便可A以推出三角形OFC与三角形OEA全等,一般情况下这两个三角形全等吗? 不难从题目的条件可得:OA=OC,∠OCF=∠OAE,而AE=CF,则ΔOEA≌ΔOFC,则OE=OF,且∠FOC=∠EOA,所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900,则∠EOF为直角,故ΔEOF为等腰直角三角形。
B二、 动手实践,操作确认
3.在⊙O中,C为弧AB的中点,D为弧AC上任一点(与A、C不重合),则 (A)AC+CB=AD+DB (B) AC+CB (C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的长度,可以尝试换几个位置量一量,得出结论(C) 例5:如图,过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD,延长CA和CD与大圆分别交于点B、E,则下列结论中正确的是( * ) (A)DE?AB (B)DE?AB (C)DE?AB(D)DE,AB的大小不确定 分析:本题可以通过度量的方法进行,选(B) 本题也可以可以证明得出结论,连结DO、EO,则在三角形OED中,由于两边之差小于第三边,则 OE—OD DECOAB三、 建立联系,计算说明 4:如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为 . 分析:能否将DN和NM进行转化,与建立三角形两边之和大于第三边等问题,很自然地想到轴对称问题,由于ABCD为正方形,因此连结BN,显然有ND=NB,则问题就转化为BN+NM的最小值问题了,一般情况下:BN+NM≥BM,只有在B、N、M三点共线时,BN+NM=BM,因 此DN+MN的最小值为BM=BC?CM?5 本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值,最后通过勾股定理计算得出结论。 22 ADMNBC例:如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=4,OA?BC于O, 点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与B、A重合。 判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化,若变化,求其变化范围,若不变化,求它的值. ?AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化,若变化,求其变化范围,若不变化,求它的值。 A(即例3的第2、第3问) 分析:(2)本题的方法很多,其一,可以建立四边形AEOF与 E22?xAE长的函数关系式,如设AE=x,则AF=, 22而三角形AOB的面积与三角形AOE的面积之比=x,而 1?OB?OA?22三角形AOB的面积=,则三角形AOE的面积 FCBOx= 22?x= 且为2. 当然,本题也可以这样思考,由于三角形AOE与三角形COF全等,则四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积相等,而AOC的面积为2,因此AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化,是一个定值,且为2. 本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛. 第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, ?AEF的面积 2,同理三角形AOF的面积=2,因此四边形AEOF的面积x?(22?x)?22;即AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化,是一个定值, 11x(22?x)??(x?2)2?12=2,又x的变化范围为0?x?22,由二次函数知识 得?AEF的面积的范围为: 0??AEF的面积?1. 本题也可以根据三角形AEF与三角形OEF的面积关系确定?AEF的面积范围: 不难证明?AEF的面积≤?OEF的面积,它们公用边EF,取EF的中点H,显然由 1EF2于?OEF为等腰直角三角形,则OH⊥EF,作AG⊥EF,显然AG≤AH=AG(=), 所以?AEF的面积≤?OEF的面积,而它们的和为2,因此0??AEF的面积?1. 本题包容的内涵十分丰富,还可以提出很多问题研究: 比如,比较线段EF与AO长度大小等(可以通过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论) D5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从 点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发,用t秒表示 Q移动的时间(0≤ t ≤6),那么: (1)当t为何值时,三角形QAP为等腰三角形? (2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论; AP(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似? 分析:(1)当三角形QAP为等腰三角形时,由于∠A为直角,只能是AQ=AP,建立等量关系,2t?6?t,即t?2时,三角形QAP为等腰三角形; CB(2)四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积 1112?6??12?x?(12?2x)?622==36,即当P、Q运动时,四边形QAPC的面积 不变。 (3)显然有两种情况:△PAQ∽△ABC,△QAP∽△ABC, 2x122x6??6或6?x12,解之得x?3或x?1.2 由相似关系得6?x建立关系求解,包含的内容多,可以是函数关系,可以是方程组或不等式等,通过解 方程、或函数的最大值最小值,自变量的取值范围等方面来解决问题;也可以是通过一些几何上的关系,描述图形的特征,如全等、相似、共圆等方面的知识求解。 作为训练同学们可以综合上述方法求解: 练习1: 已知?ABC为直角三角形,AC=5,BC=12,∠ACB为直角,P是AB边上的动点(与点A、B不重合),Q是BC边上动点(与点B、C不重合) (1) 如图,当PQ∥AC,且Q为BC的中点,求线段CP的长。 CQBAP当PQ与AC不平行时,?CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,求出线段CQ的长的取值范围;若不可能,请说明理由。 113AB?2 第1问很易得出P为AB中点,则CP=2第2问:如果?CPQ为直角三角形,由于PQ与AC不平行,则∠Q不可能为直角 又点P不与A重合,则∠PCQ也不可能为直角,只能是∠CPQ为直角,即以CQ为直径的圆与AB有交点,设CQ=2x,CQ的中点D到AB的距离DM不大于CD, AMCDQBDMDB?ACABDM?,即 DM12?x?513DM?, 所 以 5(12?x)13,由 5(12?x)101020x??x?6?CQ?12?CD?xx?633313,即,而,故,亦即时, ?CPQ可能为直角三角形。 当然还有其它方法。同学们可以继续研究。 练习2:在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点, (1)写出点O到△ABC的三个顶点 A、B、C距离的大小关系。 (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论。 该题与例3类似,同学们可以仿 本大类习题的共性: 1.代数、几何的高度综合(数形结合);着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想:数学结合、分类讨论、方程、函数. 2.以形为载体,研究数量关系;通过设、表、列获得函数关系式;研究特殊情况下的函数值.