七年级培优竞赛讲义知识决定命运，成功在于坚持第二讲：跨越----从算术到代数
【知识纵横】
“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”，著名数学教育家波利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。【例题求解】
例1.（1）观察下列等式9-1?8，16-4?12，25-9?16，36-16?20，这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来:.(2)如图，在图①中，互不重叠的三角形共有4个，在图②中，互不重叠的三角形共有7个，在图③中，互不重叠的三角形共有10个，·······，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含有n的代数式表示）。（重庆市中考题）思路点拨：（1）在观察给定的等式基础上，寻找数字特点、等式的共同特征，发现一般规律；（2）从三角形个数规律或图形生成特点入手。例2.某商品原价为a元，春节促销，降价20%，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（A.15%B.20%C.25%D.30%(四川省竞赛题)思路点拨设应提价x%，建立喊x的方程。例3.（1）计算：）1??111??111??111??11????????1??????-?1?????????????232005232004232005232004????????1七年级培优竞赛讲义知识决定命运，成功在于坚持12?2222?3232?4210032?1004210042?10052（2）设A?求A的整数部分。??????1?22?33?41003?10041004?1005（北京市竞赛题）思路点拨：对于（1），直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计n2??n?1?算转化为简单的式的计算；对于（2），从分析A中第n项的特征入手。n??n?1?2例4.有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数，例如，29就是这样的两位数，因此29?92?121?11，请你找出所有这样的两位数。（第十九届江苏省竞赛题）思路点拨：设原数为ab，则新数为ba，发现ab?ba的特点是解本例的关键。2例5.现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放可摆成2n个正方形。（1）用含n的代数式表示m；（2）当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值。（浙江省竞赛题）2七年级培优竞赛讲义知识决定命运，成功在于坚持例6.如图①，有9个方格，要求在每个方格里填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等。问：图上左上角的数是多少？（北京市“迎春杯”竞赛题）※巩固训练※
1.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是（）A.1000a?1B.100a?1C.10a?1D.a?1
（重庆市中考题）2.某商场经销一批电视机，进价为每台a元，原零售价比进价高m%，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的n%，调整后的零售价为每台（）元。A.a(1?m%?n%)
B.a(1?m%)n%
C.a(1?m%)(1?n%)
D.a?m%(1?n%)
（广东省竞赛题）3.已知n是整数，现有两个代数式：（1）2n?3，（2）4n?1，其中，能表示“任意奇数”的（）A.只有（1）B.只有（2）C.有（1）和（2）D.一个也没有4.扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三摊牌，没堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是多少？（河北省中考题）5.有一张纸，第一次把它分割成4片，第2次把其中的一片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：（1）把5次分割后，共得到多少张纸片？（2）经n次分割后，共得到多少张纸片？（3）能否经若干次分割后共得到2003张纸片？为什么？（第十七届江苏省竞赛题）3七年级培优竞赛讲义知识决定命运，成功在于坚持6.东方传统建筑中的塔，造型各异。数学中的宝塔更是千变万化、不计其数。从1开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔：观察行中各数的规律：前2行的各数之和?1?3?5?1?2?3；前3行的各数之和?1?3?5?7?9?11?1?2?3?6；前4行的各数之和?1?3?5???19?1?2?3?4?10；前5行的各数之和?1?3?5???29?1?2?3?4?5?15；因此，可推知前6行的各数之和?1?3?5???41?1?2?3?4?5?6?
333333333332333323332332。（《时代学报》数学文化节试题）7.在图（1）中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图（2）；对图（2）中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法，得到图（3），如此继续。如果图（1）的等边三角形面价为1，则第n个图形中所有阴影三角形面积和为。（第18届江苏省竞赛题）8.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为（天津市竞赛题）9.已知x1?2,xn?1?1?
1
(n?1,2,3,?)
，则x2004?x1。（重庆市竞赛题）10.下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）。A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470
（第十七届江苏省竞赛题）11.给出两列数：同时出现在这两列数中的数的个数为（）1,3,5,7,9，?，2001和1,6,11,16,21，?，2001，A.199
B.200
C.201
D.202
（重庆市竞赛题）4七年级培优竞赛讲义知识决定命运，成功在于坚持12.老师报出一个五位数，同学们将它的顺序倒排后得到的五位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567、34056、23456、34956，老师判定四个结果中只有一个正确，答对的是（）。A.甲B.乙C.丙D.丁（第16届“五羊杯”竞赛题）13.某工厂3月份的产值比2月份增加10%，四月份的产值比3月份减少10%，则（）。A.4月份的产值与2月份相等B.C.4月份的产值比2月份减少B.4月份的产值比2月份增加1
991991
D.4月份的产值比2月份增加100（“希望杯”邀请赛试题）14.如图是一个3?3的幻方，当空格中填上适当的数后，每行、没列以及对角线上的数的和都是相同的，求k的值。15.一条公交线路从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？（“希望杯”邀请赛试题）16.将1~16这16个整数填入4?4的正方形表格中，使得每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等，如右图所示，恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，请你将擦掉的这8个数设法恢复出来。20.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的差相加，其和恰好等于18。若这四个数的乘积是23100求这四个数。（天津市竞赛题）5
七年级培优第2讲：从算术到代数
