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第六节 双曲线
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 图形 范围 对称性 顶点 性质 渐近线 离心率 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2 y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 ac2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) a，b，c的关系 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2. 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
x2y2
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
mnx2y2x2y2xy(3)双曲线方程2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0，即±＝
mnmnmn0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
x2y2
2．(教材改编)已知双曲线2－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
a3
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6 2
A．2 5 2
B.
C.D．1
ca2＋3
D [依题意，e＝＝＝2，
aa∴a＋3＝2a，则a＝1，a＝1.]
3．(2017·台州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲
916线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 C．5
B．9 D．3
2
2
x2y2
B [由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]
y2
4．已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取
m＋n3m－n值范围是( ) 【导学号：】
A．(－1,3) C．(0,3)
B．(－1，3) D．(0，3)
x2
A [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.
?m＋n＋3m－n＝4，?
∴?22
?3m－n>0，?m＋n2
2
?m＝1，?
则?22
??－m 2 因此－1 x2y2 5．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)， ab则双曲线的方程为__________． x2y2 x－＝1 [由于2x＋y＝0是2－2＝1的一条渐近线， 4ab2 y2 ∴＝2，即b＝2a，① 又∵双曲线的一个焦点为(5，0)，则c＝5， 由a＋b＝c，得a＋b＝5，② 联立①②得a＝1，b＝4. ∴所求双曲线的方程为x－＝1.] 4 2 2 2 2 2 2 2 2 bay2 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 2 双曲线的定义及应用 (2017·绍兴质检)已知双曲线x－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支 24 4 上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( ) 3 A．48 C．12 B [由双曲线的定义可得 1 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 3 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10， 1 由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.] 2[规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用． 2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立|PF1|·|PF2|间的联系． [变式训练1] 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( ) 1A. 4C.2 4 1B. 3D.2 3B．24 D．6 y2A [由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a. 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a， |F2A|＝2a， ∴cos∠AF2F1 ＝ 4a2 ca＋2a－4a2×4a×2a 22 1＝.] 4 双曲线的标准方程 x2y25 (1)(2017·杭州二中模拟)已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦ab4 点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为( ) 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. A.－＝1 43C. －＝1 169 x2y2x2 B.－＝1 916D.－＝1 34 x2y2 y2x2y2 x2y2 (2)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2xab＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.－y＝1 43x3yC.－＝1 205 2 2 x2 2 B．x－＝1 43x3yD.－＝1 520 2 2 2 y2 (1)C (2)A [(1)由焦点F2(5,0)知c＝5. c5222 又e＝＝，得a＝4，b＝c－a＝9. a4 ∴双曲线C的标准方程为－＝1. 169 x2y2 b1 (2)由焦距为25得c＝5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝. a2 又c＝a＋b，解得a＝2，b＝1， 所以双曲线的方程为－y＝1.] 4 [规律方法] 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax＋By＝1(AB<0)． 2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为mx－ny＝λ(λ≠0)． 1 [变式训练2] (1)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的 2标准方程为________________． 5 (2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1 13的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________． 1 (1)－y＝1 (2)－＝1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， 41692 2 22 22 2 2 2 2 2 x2 2 x2x2y2 ∴可设双曲线的方程为x－4y＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)＝4， 2 22 4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. ∴双曲线的标准方程为－y＝1. 4 (2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8. 由双曲线的定义知：a＝4，b＝3. 故曲线C2的标准方程为2－2＝1，即－＝1.] 43169 双曲线的简单几何性质 x2 2 x2y2x2y2 x2y2 (1)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴 ab1 垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( ) 3 A.2 C.3 3B. 2D．2 x2y2 (2)(2017·宁波调研)设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是 abA1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线为 __________. 【导学号：】 b2 (1)A (2)x±y＝0 [(1)如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝. a1 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 3tan∠MF2F1＝ 2. 4 2 2 2 |MF1|2b2c－a2所以＝，即＝，即＝， 2c42ac42ac4整理得c－ 2 2 ac－a2＝0， 2 2 2 两边同除以a得e－ 2 e－1＝0. 2 解得e＝2(负值舍去)． b??b??(2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B?c，?，C?c，－?. a??a?? 因为A1B⊥A2C， 22 b2 －a所以·＝－1，整理得a＝b. c＋ac－a5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. b2a
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教师用书
